矩阵论

• 1. 线性空间与线性变换
  • 1.1. 线性空间
    • 1.1.1. 基础概念
    • 1.1.2. 线性空间概念及性质
    • 1.1.3. 线性空间的基、坐标与维数
    • 1.1.4. 基变换与坐标变换
  • 1.2. 线性子空间
    • 1.2.1. 线性子空间
    • 1.2.2. 直和
    • 1.2.3. 生成的子空间
  • 1.3. 线性变换及其表示
    • 1.3.1. 线性变换
    • 1.3.2. 线性变换的运算
    • 1.3.3. 线性变换与矩阵
    • 1.3.4. 总结
  • 1.4. 特征值与特征向量
    • 1.4.1. 特征值与特征向量
    • 1.4.2. 广义特征向量
    • 1.4.3. 例子(广义特征向量)
    • 1.4.4. 特征多项式与最小多项式
    • 1.4.5. 特征子空间与不变子空间
    • 1.4.6. 信号子空间与噪声子空间
  • 1.5. 矩阵对角化
    • 1.5.1. 多项式矩阵及其标准形
    • 1.5.2. 不变因子与初等因子
    • 1.5.3. Jordan标准型
    • 1.5.4. Jordan标准型求解微分线性方程组
    • 1.5.5. 总结
  • 1.6. 广义特征值与特征向量
    • 1.6.1. 广义特征值与特征向量
  • 1.7. 特殊线性空间
    • 1.7.1. 内积空间
    • 1.7.2. 总结
• 2. 范数理论及应用
  • 2.1. 向量范数
    • 2.1.1. 概念与内涵
    • 2.1.2. 向量范数的等价性
    • 2.1.3. 常见向量范数
  • 2.2. 矩阵范数
    • 2.2.1. 概念与内涵
    • 2.2.2. 矩阵范数与向量范数的相容性
    • 2.2.3. 常见矩阵范数
  • 2.3. 范数的应用
    • 2.3.1. 矩阵的谱半径
    • 2.3.2. 矩阵非奇异性条件
    • 2.3.3. 逆矩阵的摄动与条件数
• 3. 矩阵分析及应用
  • 3.1. 矩阵级数
    • 3.1.1. 概念
  • 3.2. 矩阵序列
    • 3.2.1. 概念理解
    • 3.2.2. 矩阵序列收敛与矩阵收敛
  • 3.3. 矩阵函数
    • 3.3.1. 概念
    • 3.3.2. 求解方法
    • 3.3.3. 总结
  • 3.4. 矩阵微分与积分
    • 3.4.1. 概念
  • 3.5. 总结
    • 3.5.1. 概念对比
    • 3.5.2. 收敛定理
• 4. 矩阵分解
  • 4.1. 简介
  • 4.2. 三角分解
    • 4.2.1. 引言
    • 4.2.2. 高斯消元过程
    • 4.2.3. 变元求解
    • 4.2.4. LU分解与LDU分解
    • 4.2.5. 其它三角分解
  • 4.3. 满秩分解
    • 4.3.1. 什么是满秩分解
    • 4.3.2. 求解方法
  • 4.4. 正交三角分解
    • 4.4.1. 什么是正交三角分解
    • 4.4.2. 求解方法
  • 4.5. 奇异值分解
    • 4.5.1. 概念
    • 4.5.2. 求解方法
    • 4.5.3. 奇异值分解应用
• 5. 特征值估计
  • 5.1. 特征值估计
    • 5.1.1. 特征值的界
    • 5.1.2. 特征值的包含区域
  • 5.2. 特征值的极性
    • 5.2.1. 概念与内涵
• 6. 广义逆矩阵
  • 6.1. 投影矩阵
    • 6.1.1. 投影算子与投影矩阵
  • 6.2. 广义逆的定义与性质
    • 6.2.1. Moore-Penrose 逆
  • 6.3. 广义逆计算
    • 6.3.1. Hermite标准形计算 {1}-逆 和 {1,2}-逆
    • 6.3.2. 满秩分解法
  • 6.4. 广义逆矩阵与线性方程组
    • 6.4.1. 基本概念
    • 6.4.2. 几种常见解
• 7. 杂项
  • 7.1. 常用总结
    • 7.1.1. 顺序主子式
    • 7.1.2. 伴随矩阵
    • 7.1.3. 矩阵的逆
    • 7.1.4. 矩阵的秩
    • 7.1.5. 矩阵的迹行列式特征值
  • 7.2. 初等变换
    • 7.2.1. 初等行变换
    • 7.2.2. 初等列变换
    • 7.2.3. 特殊初等变换
  • 7.3. 常见矩阵概念
    • 7.3.1. 奇异非奇异
    • 7.3.2. 特殊矩阵
  • 7.4. 对角矩阵
  • 7.5. 矩阵运算
    • 7.5.1. 乘法
• 8. 名词术语