2.3. 范数的应用

2.3.1. 矩阵的谱半径

什么是谱半径

Definition 2.8 (矩阵的谱半径)

设 \({\bm A} \in {\mathbb C}^{n\times n}\) 的 \(n\) 个特征值为 \(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n\) , 称

\[\rho({\bm A}) = \mathop {\max }\limits_i |\lambda_i| \]

为 谱半径 (Spectral Radius).

提示

1. 矩阵 \({\bm A}\) 的谱半径是正实数

2. 矩阵 \({\bm A}\) 的谱半径是矩阵的特征值的模值, 且为最大的那个

3. 矩阵 \({\bm A}\) 的2-范数是 \({\bm A}^H{\bm A}\) 的最大特征值的平方根

4. 矩阵 \({\bm A}\) 的谱半径不超过矩阵的范数 \(\|{\bm A}\|\)

性质

1. 设 \({\bm A} \in {\mathbb C}^{n\times n}\) , 则对于 \({\mathbb C}^{n\times n}\) 上的任意矩阵范数 \(\|\cdot\|_M\) , 都有

   \[\rho({\bm A}) \leq \|{\bm A}\|_M \]

   提示

   取与矩阵范数 \(\|\cdot\|_M\) 相容的向量范数 \(\|\cdot\|_V\) , 设矩阵 \({\bm A}\) 的特征值 \(\lambda\) 对应的特征向量为 \({\bm x}\) , 则

   \[|\lambda|\|{\bm x}\|_V = \|\lambda{\bm x}\|_V = \|{\bm{Ax}}\|_V \leq \|{\bm A}\|_M \|{\bm x}\|_V \]

   由 \({\bm x} \neq {\bm 0}\) 得, \(\rho({\bm A}) \leq \|{\bm A}\|_M\) .

2. 设 \({\bm A} \in {\mathbb C}^{n\times n}\) , 则 \(\rho({\bm A}^k) = [\rho({\bm A})]^k\)

3. 设 \({\bm A} \in {\mathbb C}^{n\times n}\) , 则 \(\|{\bm A}\|_2 = \rho^{1/2}({\bm A}^H{\bm A}) = \rho^{1/2}({\bm A} {\bm A}^H)\) , 当 \({\bm A}\) 为Hermite正定阵时, \(\|{\bm A}\|_2 = \rho({\bm A})\)

4. 设 \({\bm A} \in {\mathbb C}^{n\times n}\) , 则 \(\forall \epsilon \in {\mathbb Z}^+\) , 存在某种矩阵范数 \(\|\cdot\|_M\) 使得 \(\|{\bm A}\|_M \leq \rho({\bm A})+\epsilon\)

2.3.2. 矩阵非奇异性条件

设 \({\bm A} \in {\mathbb C}^{n\times n}\) , 若对 \({\mathbb C}^{n\times n}\) 上的某种矩阵范数 \(\|\cdot\|_M\) 有 \(\|{\bm A}\| < 1\) , 则矩阵 \({\bm I} - {\bm A}\) 非奇异, 且

\[\|({\bm I} - {\bm A})^{-1}\|_M \leq \frac{\|{\bm I}\|_M}{1-\|{\bm A}\|_M} \]

\[\|{\bm I} - ({\bm I} - {\bm A})^{-1}\|_M \leq \frac{\|{\bm A}\|_M}{1-\|{\bm A}\|_M} \]

2.3.3. 逆矩阵的摄动与条件数

设 \({\bm A} \in {\mathbb C}^{n\times n}\) , 且非奇异, \({\bm B} \in {\mathbb C}^{n\times n}\) 若对 \({\mathbb C}^{n\times n}\) 上的某种矩阵范数 \(\|\cdot\|_M\) , 有 \(\|{\bm A}^{-1}{\bm B}\|_M < 1\) , 则

1. \({\bm A} + {\bm B}\) 非奇异

2. \(\|{\bm I} - ({\bm I} + {\bm A}^{-1}{\bm B})^{-1}\|_M \leq \frac{\|{\bm A}^{-1}{\bm B}\|_M}{1 - \|{\bm A}^{-1}{\bm B}\|_M}\)

3. \(\frac{\|{\bm A}^{-1} - ({\bm A} + {\bm B})^{-1}\|_M}{\|{\bm A}\|_M} \leq \frac{\|{\bm A}^{-1} {\bm B}\|_M}{1 - \|{\bm A}^{-1}{\bm B}\|_M}\)

矩阵的摄动

设 \({\bm A} = (a_{ij}) \in {\mathbb C}^{n\times n}\) , \(\delta{\bm A} = (\delta a_{ij}) \in {\mathbb C}^{n\times n}\) , 且 \(\delta a_{ij}\) 表示元素 \(a_{ij}\) 的误差, 称矩阵 \(\delta {\bm A}\) 为 \({\bm A}\) 的 摄动矩阵 .

条件数

设 \({\bm A} = (a_{ij}) \in {\mathbb C}^{n\times n}\) 非奇异, \(\|{\bm A}\|_M\) 为 \({\mathbb C}^{n\times n}\) 上的某种矩阵范数, 则称

\[{\rm{cond}}({\bm A}) = \|{\bm A}\|_M\|{\bm A}^{-1}\|_M \]

为矩阵 \({\bm A}\) 的 条件数 .

对应地, 当 \(\|{\bm A}^{-1} \delta{\bm A}\|_M < 1\) 时有

1. \(\|{\bm I} - ({\bm I} + {\bm A}^{-1}\delta{\bm A})^{-1}\|_M \leq \frac{{\rm{cond}}({\bm A})\frac{\|\delta {\bm A}\|_M}{\|{\bm A}\|_M}}{1 - {\rm{cond}}({\bm A})\frac{\|\delta {\bm A}\|_M}{\|{\bm A}\|_M}}\)

2. \(\frac{\|{\bm A}^{-1} - ({\bm A} + \delta{\bm A})^{-1}\|_M}{\|{\bm A}\|_M} \leq \frac{{\rm{cond}}({\bm A})\frac{\|\delta {\bm A}\|_M}{\|{\bm A}\|_M}}{1 - {\rm{cond}}({\bm A})\frac{\|\delta {\bm A}\|_M}{\|{\bm A}\|_M}}\)