1.6. 广义特征值与特征向量

1.6.1. 广义特征值与特征向量

矩阵的广义特征值与特征向量

Definition 1.19 (矩阵的广义特征值与特征向量)

设有矩阵 \({\bm A}, {\bm B}\) , 且对于数域 \({\mathbb K}\) 中的数 \(\lambda\) , 若存在非零向量 \({\bm x} \in {\mathbb V}^n\) 满足如下条件

\[{\bm A}{\bm x} = \lambda {\bm B}{\bm x} \]

则称 \(\lambda\) 为矩阵 \({\bm A}\) 相对于矩阵 \({\bm B}\) 的 广义特征值 ( Generalized Eigenvalue ) , \({\bm x}\) 为 \({\bm A}\) 相对于矩阵 \({\bm B}\) 的属于特征值 \(\lambda\) 的 广义特征向量 ( Generalized Eigenvector ). 上述问题称为 广义特征值问题 ( Generalized eigenvalue problem ) .

特征值与特征向量的关系

广义特征值问题的等价形式

第一种形式

当 \({\bm B}\) 正定即可逆时, 有第一种等价形式

\[{\bm B}^{-1}{\bm A}{\bm x} = \lambda{\bm x}, \]

此时, 广义特征值问题退化为矩阵 \({\bm B}^{-1}{\bm A}\) 的普通特征值问题.

第二种形式

当 \({\bm B}\) 正定即可逆时, 对其进行 Cholesky 分解 \({\bm B} = {\bm G}{\bm G}^T\) , 其中 \({\bm G}\) 是下三角矩阵, 则有

\[{\bm A}{\bm x} = \lambda{\bm G}{\bm G}^T{\bm x}, \]

令 \({\bm y} = {\bm G}^T{\bm x}\) , 则 \({\bm x} = ({\bm G}^{-1})^T{\bm y}\) , 则广义特征值问题变为

\[{\bm S}{\bm y} = \lambda{\bm y} \]

此时, 广义特征值问题退化为矩阵 \({\bm S} = {\bm G}^{-1}{\bm A}({\bm G}^{-1})^T\) 的普通特征值问题.

实例