7.3. 常见矩阵概念

7.3.1. 奇异非奇异

奇异(singular)与非奇异(non-singular)和不可逆(non-invertible)与可逆(invertible)是相同的,

  • 首先是指方阵 \({\bm A}^{n\times n}\) ;

  • 非奇异阵 \(\leftrightarrow\) 可逆矩阵 \(\leftrightarrow\) 满秩 \(\leftrightarrow\) 行列式不等于零 \(\|{\bm A}\| {\neq} 0\) \(\leftrightarrow\) 正定阵;

  • 奇异阵 \(\leftrightarrow\) 非可逆矩阵 \(\leftrightarrow\) 非满秩 \(\leftrightarrow\) 行列式等于零 \(\|{\bm A}\| = 0\) \(\leftrightarrow\) 非正定阵;

7.3.2. 特殊矩阵

概念汇总

  1. 对称矩阵

    • 实对称: \({\bm A}^T = {\bm A}\) , \({\bm A}\in {\mathbb R}^{n\times n}\)

    • 酉对称: \({\bm A}^H = {\bm A}\) , \({\bm A}\in {\mathbb C}^{n\times n}\), 也叫Hermite矩阵

    • 复对称: \({\bm A}^T = {\bm A}\) , \({\bm A}\in {\mathbb C}^{n\times n}\)

  2. 正规矩阵 ( Normal Matrix )

    • 正规矩阵: \({\bm A}^H{\bm A} = {\bm A}{\bm A}^H\) , \({\bm A}\in {\mathbb C}^{n\times n}\)

    • 正交矩阵, 酉矩阵, 对角矩阵, 实对称矩阵及酉对称矩阵均为正规矩阵

  3. 正交矩阵

    • 实正交矩阵: \({\bm A}^T{\bm A} = {\bm A}{\bm A}^T = {\bm I}\) , \({\bm A}\in {\mathbb R}^{n\times n}\)

    • 复正交矩阵: \({\bm A}^H{\bm A} = {\bm A}{\bm A}^H = {\bm I}\) , \({\bm A}\in {\mathbb C}^{n\times n}\) , 也叫酉矩阵

Hermitian matrix 也叫自伴随矩阵 (self-adjoint matrix)

结论

设 \({\bm A}\in {\mathbb C}_{r}^{m\times n} , (r>0)\) , 则

  1. \({\bm A}^H{\bm A}\) 是 Hermite矩阵, 即 \(({\bm A}^H{\bm A})^H = {\bm A}^H{\bm A}\) , 其特征值为非负实数;

  2. \({\rm rank}({\bm A}^H{\bm A}) = {\rm rank}({\bm A}{\bm A}^H) = {\rm rank}({\bm A})\) ;

  3. \({\bm A} = {\bm 0}\) 的充要条件是 \({\bm A}^H{\bm A} = {\bm 0}\) , 此时, \(r=0\)