2.1. 向量范数¶
2.1.1. 概念与内涵¶
设 \({\mathbb V}\) 是数域 \({\mathbb K}\) 上的线性空间, 若对于 \({\mathbb V}\) 中的任意元素 \({\bm x}\) , 存在实数 \(\|{\bm x}\|\) 满足:
非负性: \(\|{\bm x}\| \geq 0\) , 当且仅当 \({\bm x} = {\bm 0}\) 时, 等号成立;
齐次性: \(\|k \odot \bm x \| = |k|\|\bm x\|\) , ( \(k\in {\mathbb K}\) , \({\bm x} \in {\mathbb V}\) )
三角不等式: \(\|{\bm x} \oplus {\bm y}\| \leq \|{\bm x}\| + \|{\bm y}\|\) , ( \({\bm{x, y} \in {\mathbb V}}\) )
则称 \(\|{\bm x}\|\) 为向量 \({\bm x}\) 在线性空间 \({\mathbb V}\) 上的 向量范数 .
提示
范数是实数, 为什么不定义复数呢?
注意与内积的定义比较
注意与矩阵范数的定义比较
2.1.2. 向量范数的等价性¶
设 \(\|{\bm x}\|_{\alpha}\) , \(\|{\bm x}\|_{\beta}\) 为有限维线性空间 \({\mathbb V}\) 上的任意两种范数, 则存在数 \(c_1, c_2\) 与向量无关, 且使得对于 \(\forall {\bm x}\in {\mathbb V}\) 如下不等式成立
称其为向量范数的等价性质.
提示
如对于向量的 \(\ell_1, \ell_2\) 范数 \(|{\bm x}|, \|{\bm x}\|\)
2.1.3. 常见向量范数¶
普通向量范数¶
设有线性空间 \({\mathbb V}^n\) , \({\bm x} = (\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n) \in {\mathbb V}^n\) , 其中, \(\xi_i\) 为 \({\bm x}\) 的第 \(i\) 个坐标, \(|\xi_i|\) 表示 \(\xi\) 的模, 则有以下常见范数
p-范数 或 \(\ell_p\) 范数 : \(\|{\bm x}\|_p = \left( \sum_{i=1}^n |\xi|^p \right)^{1/p}\) , \(1 \leq p < +\infty\)
∞-范数 或 \(\ell_{\infty}\) 范数 : \(\|{\bm x}\|_{\infty} = \mathop {\max }\limits_i |\xi_i|\) , ( \(p \to +\infty\) )
1-范数 或 \(\ell_1\) 范数 : \(\|{\bm x}\|_1 = \sum_{i=1}^n|\xi_i|\) , ( \(p = 1\) )
2-范数 或 \(\ell_2\) 范数 : \(\|{\bm x}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n|\xi_i|^2}\) , ( \(p = 2\) )
当 \({\mathbb V}^n\) 为复空间 \({\mathbb C}^n\) , 或实数空间 \({\mathbb R}^n\) 时也有上述范数.
注解
对区间 \([a, b]\) 上的实值连续函数集合, 和实数域 \({\mathbb R}\) , 定义通常函数的加法, 实数与函数的数乘运算, 构成 \({\mathbb R}\) 上的一个线性空间 \({\mathbb V}\) , 有以下范数:
\(\|f(t)\|_p = \left[ \int_a^b |f(t)|^p|{\rm d}t \right]^{1/p}\) , \((1\leq p <+\infty)\)
\(\|f(t)\|_{+\infty} = \mathop {\max }\limits_{t\in[a, b]} |f(t)|\)
加权范数¶
设 \({\bm A}\) 为 \(n\) 阶对称正定阵, \({\bm x}\in {\mathbb R}^n\) , 则称
为 加权范数 (Weighted Norm) 或 椭圆范数 .
同理, 设 \({\bm A}\) 为 \(n\) 阶Hermite对称正定阵, \({\bm x}\in {\mathbb C}^n\) , 则称
为 加权范数 (Weighted Norm) 或 椭圆范数 .