1. 线性空间与线性变换

• 1.1. 线性空间
  • 1.1.1. 基础概念
    • 域
    • 映射
  • 1.1.2. 线性空间概念及性质
    • 定义
    • 性质
    • 线性组合与线性表示
    • 线性相关与线性无关
  • 1.1.3. 线性空间的基、坐标与维数
    • 定义
  • 1.1.4. 基变换与坐标变换
    • 两个基之间的转换
    • 多个基之间的转换
    • 坐标变换
• 1.2. 线性子空间
  • 1.2.1. 线性子空间
    • 什么是线性子空间
    • 子空间的运算及其性质
  • 1.2.2. 直和
    • 什么是直和
    • 性质
  • 1.2.3. 生成的子空间
    • 什么是生成子空间
    • 矩阵的列空间、核空间、秩与零度
    • 矩阵的Spark
    • 总结
• 1.3. 线性变换及其表示
  • 1.3.1. 线性变换
    • 什么是线性变换
    • 线性变换的特性
  • 1.3.2. 线性变换的运算
    • 基本线性变换
      • 单位变换
      • 零变换
      • 负变换
      • 逆变换
    • 加法
      • 定义
      • 性质
    • 数乘
      • 定义
      • 性质
    • 乘法
      • 定义
      • 性质
    • 幂
      • 定义
      • 性质
    • 线性变换的多项式
      • 定义
      • 性质
  • 1.3.3. 线性变换与矩阵
    • 线性变换的矩阵表示
    • 性质
    • 像与原像的坐标转换
    • 线性变换在不同基下的矩阵转换
    • 相似矩阵
      • 什么是相似矩阵
      • 性质
    • 线性变换多项式的矩阵
    • 常见线性变换
  • 1.3.4. 总结
• 1.4. 特征值与特征向量
  • 1.4.1. 特征值与特征向量
    • 线性变换的特征值与特征向量
    • 矩阵的特征值与特征向量
    • 特征值与特征向量的关系
    • 实例
  • 1.4.2. 广义特征向量
    • 概念与内涵
    • 计算步骤
  • 1.4.3. 例子(广义特征向量)
  • 1.4.4. 特征多项式与最小多项式
    • 特征多项式
    • 最小多项式
  • 1.4.5. 特征子空间与不变子空间
    • 什么是特征子空间
    • 什么是不变子空间
  • 1.4.6. 信号子空间与噪声子空间
• 1.5. 矩阵对角化
  • 1.5.1. 多项式矩阵及其标准形
    • 多项式矩阵
    • 首一多项式
    • 多项式矩阵的标准形
  • 1.5.2. 不变因子与初等因子
    • 不变因子
    • 初等因子
    • 举例
  • 1.5.3. Jordan标准型
    • 概念与内涵
    • 求解方法
    • 举例
    • 非奇异矩阵P的求法
  • 1.5.4. Jordan标准型求解微分线性方程组
    • 计算步骤
    • 举例
  • 1.5.5. 总结
    • 可对角化
• 1.6. 广义特征值与特征向量
  • 1.6.1. 广义特征值与特征向量
    • 矩阵的广义特征值与特征向量
    • 特征值与特征向量的关系
    • 广义特征值问题的等价形式
      • 第一种形式
      • 第二种形式
    • 实例
• 1.7. 特殊线性空间
  • 1.7.1. 内积空间
    • 什么是内积空间
    • 欧式空间(实内积空间)
    • 酉空间(复内积空间)
    • 常见内积及其性质
      • 定义
      • 性质
      • 度量矩阵
      • Schmidt正交化
    • 内积空间中线性变换
      • 实对称变换
      • 实反对称变换
      • 正交变换
      • 酉对称变换
      • 反酉对称变换
      • 酉变换
      • Givens 旋转变换
      • Householder 反射变换
    • 谱分解
  • 1.7.2. 总结