3.5. 总结

3.5.1. 概念对比

• 函数矩阵: 矩阵 \({\bm A}^{(k)}\) 的元素是关于变量 \(k\) 的函数;

• 矩阵函数: 以矩阵 \({\bm A}\) 为自变量的函数;

• 矩阵序列: \({{\bm A}^{(k)} = (a_{ij}^{(k)})_{m\times n}\in {\mathbb C}^{m\times n}}\) , 其中 \(a_{ij}^{(k)}\) 为关于 \(k\) 的函数;

• 矩阵级数: \(\sum_{k=0}^{+\infty} {\bm A}^{(k)} = {\bm A}^{(0)} + {\bm A}^{(1)} + \cdots\)

• 矩阵序列收敛: \({\bm A}^{(k)} \rightarrow {\bm A} (k\rightarrow +\infty)\) , 其中 \({\bm A}^{(k)}\) 为关于 \(k\) 的函数矩阵, \({\bm A} = (a_{ij})_{m\times s}\) 为常数矩阵;

• 收敛矩阵: \({\bm A}^k \rightarrow {\bm O} (k\rightarrow +\infty)\) , 其中 \({\bm A}^k = {\bm A}{\bm A}\cdots {\bm A}\) 表示 \({\bm A}\) 的 \(k\) 次幂, \({\bm O}\) 为零矩阵;

3.5.2. 收敛定理

• 矩阵序列收敛: \({\bm A}^{(k)} \rightarrow {\bm O}\) 的充要条件是 \(\|{\bm A}^{(k)}\| \rightarrow 0\) , 其中, \(\|\cdot\|\) 为 \(\mathbb{C}^{m\times n}\) 上的任意范数.

• 矩阵序列收敛: \({\bm A}^{(k)} \rightarrow {\bm A}\) 的充要条件是 \(\|{\bm A}^{(k)} - {\bm A}\| \rightarrow 0\) , 其中, \(\|\cdot\|\) 为 \(\mathbb{C}^{m\times n}\) 上的任意范数.

• 矩阵收敛: \({\bm A}^k \rightarrow {\bm O}\) 的充要条件是 \(\rho({\bm A}) < 1\) , 其中, \(\rho({\bm A})\) 为 \({\bm A}\) 的谱半径.

• 矩阵级数收敛: \(\sum_{k=0}^{+\infty} {\bm A}^{(k)} = {\bm A}^{(0)} + {\bm A}^{(1)} + {\bm A}^{(2)} + \cdots\) 绝对收敛的充要条件是正项级数 \(\sum_{k=0}^{\infty}\|{\bm A}^{(k)}\|\) 收敛.

• 矩阵幂级数收敛: \(\sum_{k=0}^{+\infty} {\bm A}^k = {\bm I} + {\bm A}^1 + {\bm A}^2 + \cdots\) 收敛的充要条件是 \({\bm A}\) 收敛, 且幂级数收敛于 \(({\bm I} - {\bm A})^{-1}\) .