6.2. 广义逆的定义与性质

6.2.1. Moore-Penrose 逆

概念

设有矩阵 \({\bm A} \in {\mathbb C}^{m\times n}\) , 矩阵 \({\bm X} \in {\mathbb C}^{n\times m}\) 和以下 Penrose 方程:

  1. \({\bm A}{\bm X}{\bm A} = {\bm A}\)

  2. \({\bm X}{\bm A}{\bm X} = {\bm X}\)

  3. \(({\bm A}{\bm X})^H = {\bm A}{\bm X}\)

  4. \(({\bm X}{\bm A})^H = {\bm X}{\bm A}\)

若矩阵 \({\bm X}\) 满足 Penrose 方程组中的 \((i), (j), \cdots, (k)\) 方程, 则称 \({\bm X}\) 为 \({\bm A}\) 的 \(\{i, j, \cdots, k\}\) -逆, 记为 \({\bm A}^{(i,j\cdots,k)}\) , 全体记为 \({\bm A}{\{i,j\cdots,k\}}\) .

若矩阵 \({\bm X}\) 满足 Penrose 方程组中的 \((1), (2), (3), (4)\) 方程, 则称 \({\bm X}\) 为 \({\bm A}\) 的 Moore-Penrose 逆, 记为 \({\bm A}^{+}\) .

易知:

  • \({\bm A}^{+} = {\bm A}^{(1,2,3,4)}\)

  • 满足Penrose方程的广义逆共有 \(C_4^1 + C_4^2 + C_4^3 + C_4^4 = 15\) 类

结论与性质

  1. 一般地, \({\bm A}{\bm A}^+ \neq {\bm A}^+{\bm A} \neq {\bm I}\)

  2. 若矩阵 \({\bm A}\) 非奇异, 则 \({\bm A}^{+} = {\bm A}^{-1}\)

  3. 若矩阵 \({\bm A}\in {\mathbb C}^{m\times n}\) , 则 \({\bm A}^{+}\) 存在且唯一

  4. 若矩阵 \({\bm A}\in {\mathbb C}^{m\times n}\) , 则 \({\bm Y} = ({\bm A}^H {\bm A})^{(1)}{\bm A}^H\) \(\in {\bm A}\{1,2,3\}\)

  5. 若矩阵 \({\bm A}\in {\mathbb C}^{m\times n}\) , 则 \({\bm Y} = {\bm A}^H({\bm A}{\bm A}^H)^{(1)}\) \(\in {\bm A}\{1,2,4\}\)

  6. 若矩阵 \({\bm A}\in {\mathbb C}_n^{m\times n}\) , 则 \({\bm A}^+ = ({\bm A}^H {\bm A})^{-1}{\bm A}^H\)

  7. 若矩阵 \({\bm A}\in {\mathbb C}_m^{m\times n}\) , 则 \({\bm A}^+ = {\bm A}^H({\bm A}{\bm A}^H)^{-1}\)

  8. 若矩阵 \({\bm A}\in {\mathbb C}^{m\times n}\) , \({\bm B}\in {\bm C}^{n\times l}\) , 不一定有 \(({\bm{AB}})^+ = {\bm B}^+{\bm A}^+\)

提示

如设 \({\bm A} = (1, 0)\) , \({\bm B} = (1, 1)^T\) , 则 \({\bm{AB}} = [1]\) , \(({\bm{AB}})^+ = [1]\) , \({\bm A}^+ = (1, 0)^T\) , \({\bm B}^+ = (1/2, 1/2)\) , \({\bm A}^+{\bm B}^+ = [1/2]\)