4.3. 满秩分解

4.3.1. 什么是满秩分解

满秩分解( Full Rank Decomposition ) 是指将一矩阵分解为行满秩与列满秩的两个矩阵的乘积的分解.

Definition 4.2 (满秩分解)

设 \({\bm A} \in {\mathbb C}_r^{m\times n} (r>0)\) , 若存在矩阵 \({\bm F} \in {\mathbb C}_r^{m\times r} (r>0)\) 和 \({\bm G} \in {\mathbb C}_r^{r\times n} (r>0)\) 使得

\[{\bm A}_r^{m\times n} = {\bm F}_r^{m\times r} {\bm G}_r^{r\times n} \]

则称上述分解为 满秩分解 . 其中, \(r\) 为矩阵 \({\bm A}, {\bm F} , {\bm G}\) 的秩.

4.3.2. 求解方法

初等行变换法

对矩阵 \({\bm A} \in {\mathbb C}_r^{m\times n} (r>0)\) 进行满秩分解的步骤如下:

  1. 仅使用初等行变换, 将 \({\bm A} \in {\mathbb C}_r^{m\times n} (r>0)\) 化为行阶梯标准型 \({\bm B} \in {\mathbb C}_r^{m\times n} (r>0)\) ;

  2. 列满秩矩阵 \({\bm F}_r^{m\times r}\) 取为矩阵 \({\bm A}\) 的前 \(r\) 列构成的 \({m\times r}\) 的矩阵;

  3. 行满秩矩阵 \({\bm G}_r^{r\times n}\) 取为矩阵 \({\bm B}\) 的前 \(r\) 行构成的 \({r\times n}\) 的矩阵.

提示

行阶梯标准型又称 Hermite标准型 , 是指满足如下条件的矩阵 \({\bm B} \in {\mathbb C}_r^{m\times n} (r>0)\)

  1. \({\bm B}\) 的前 \(r\) 行中每一行至少含一个非零元素, 且第一个非零元素是 \(1\) , 后 \(m-r\) 行元素均为零;

  2. \({\bm B}\) 的前 \(r\) 列为单位阵 \({\bm I}_m\) 的前 \(r\) 列.

可见, Hermite标准型矩阵具备如下形式:

\[{\bm{B}} = \left[ {\begin{array}{ll} {{{\bm{I}}_{r \times r}}}&{{{\bm{K}}_{r \times (n - r)}}}\\ {{{\bm{O}}_{(m - r) \times r}}}&{{{\bm{O}}_{(m - r) \times (n - r)}}} \end{array}} \right] \]

其中, \(\bm K\) 为任意 \(r\times(n-r)\) 矩阵.

如矩阵 \(\left[ {\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&{{\rm{ - }}1}&{{\rm{ - }}1}\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}} \right]\)

注解

举个例子, 求如下矩阵的满秩分解

\[{\bm A} = \left[ {\begin{array}{cccc} 1&0&0&1\\ 1&1&0&0\\ 0&1&1&0\\ 0&0&1&1 \end{array}} \right] \]

  1. 仅使用初等行变换将其化为Hermite标准形:

\[\left[ {\begin{array}{cccc} 1&0&0&1\\ 1&1&0&0\\ 0&1&1&0\\ 0&0&1&1 \end{array}} \right]\mathop \to \limits^{{r_2} - {r_1}} \left[ {\begin{array}{cccc} 1&0&0&1\\ 0&1&0&{ - 1}\\ 0&1&1&0\\ 0&0&1&1 \end{array}} \right]\mathop \to \limits^{{r_3} - {r_2}} \left[ {\begin{array}{cccc} 1&0&0&1\\ 0&1&0&{ - 1}\\ 0&0&1&1\\ 0&0&1&1 \end{array}} \right]\mathop \to \limits^{{r_4} - {r_3}} \left[ {\begin{array}{cccc} 1&0&0&1\\ 0&1&0&{ - 1}\\ 0&0&1&1\\ 0&0&0&0 \end{array}} \right] = {\bm{B}} \]

可见 \(r = 3\) .

  1. 列满秩矩阵 \({\bm F}_r^{m\times r}\) 取为矩阵 \({\bm A}\) 的前 \(r\) 列构成的 \({m\times r}\) 的矩阵

\[\left[ {\begin{array}{cc} {\begin{array}{c} 1\\ 1\\ 0\\ 0 \end{array}}&{\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 1\\ 0 \end{array}} \end{array}} \right] \]

  1. 行满秩矩阵 \({\bm G}_r^{r\times n}\) 取为矩阵 \({\bm B}\) 的前 \(r\) 行构成的 \({r\times n}\) 的矩阵

\[\left[ {\begin{array}{cc} {\begin{array}{cccc} 1&0&0&1 \end{array}}\\ {\begin{array}{cccc} 0&1&0&{ - 1} \end{array}} \end{array}} \right] \]

则有如下满秩分解：

\[{{\bm{A}}_{4 \times 4}} = {{\bm{F}}_{4 \times 3}}{{\bm{G}}_{3 \times 4}} = \left[ {\begin{array}{ccc} {\begin{array}{cccc} 1\\ 1\\ 0\\ 0 \end{array}}&{\begin{array}{cccc} 0\\ 1\\ 1\\ 0 \end{array}}&{\begin{array}{cccc} 0\\ 0\\ 1\\ 1 \end{array}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{lll} {\begin{array}{cccc} 1&0&0&1 \end{array}}\\ {\begin{array}{cccc} 0&1&0&{ - 1} \end{array}}\\ {\begin{array}{cccc} 0&0&1&1 \end{array}} \end{array}} \right] \]