1.5. 矩阵对角化¶
1.5.1. 多项式矩阵及其标准形¶
多项式矩阵¶
称如下矩阵为 多项式矩阵 :
其中, \(a_{ij}(\lambda)\) 为数域 \(K\) 上的 \(\lambda\) 的多项式. 易知数域上的 \(n\) 阶矩阵 \({\bm A}\) 的特征矩阵是一个 多项式矩阵 (Polynomial Matrix) .
首一多项式¶
定义: 最高次数项为首项, 且首项系数是 \(1\) 的多项式为 首1多项式 .
如: \(\lambda^2 + 2\lambda\) 是首 \(1\) 多项式, \(2\lambda^2 + \lambda\) 不是首一多项式.
注解
定理: 矩阵 \({\bm A}\) 的最小多项式 \(m(\lambda)\) 可以整除以 \({\bm A}\) 为根的任意首1多项式 \(\phi(\lambda)\) , 即 \(m(\lambda)|\phi(\lambda)\) 定理: 矩阵 \({\bm A}\) 的最小多项式 \(m(\lambda)\) 与其特征多项式 \(\varphi(\lambda)\) 具有相同的零点(不计重数).
多项式矩阵的标准形¶
多项式矩阵的标准形是指具有如下形式的多项式矩阵:
其中, \(d_i(\lambda)\) 是首一多项式, \(d_{i-1}(\lambda)\) 可以整除 \(d_i(\lambda)\) , 记为 \(d_{i-1}(\lambda)|d_{i}(\lambda)\) , \(i=1,2,\cdots,s, s\leq n\) .
1.5.2. 不变因子与初等因子¶
对于多项式矩阵 \({\bm A}(\lambda)\) , 采用初等变换 (行列均可) 可以化为标准形.
不变因子¶
多项式矩阵 \({\bm A}(\lambda)\) 的标准形式的对角线上的非零元素 \(d_i(\lambda), (i=1, 2, \cdots, s)\) 不随初等变换而改变, 称之为多项式矩阵 \({\bm A}(\lambda)\) 的 不变因子 或 不变因式 , 可由下式计算:
其中, \(D_i(\lambda)\) 为多项式矩阵 \({\bm A}(\lambda)\) 的 所有 \(i\) 阶子式(行列式)的最大公因式, 也称为多项式矩阵 \({\bm A}(\lambda)\) 的 \(i\) 阶行列式因子, 不随初等变换而改变.
初等因子¶
把多项式矩阵 \({\bm A}(\lambda)\) 的的每个次数大于零的不变因子 \(d_i(\lambda)\) 分解为不可约因式的乘积, 这些不可约因式及它们的幂指数称为 多项式矩阵 \({\bm A}(\lambda)\) 的一个 初等因子 , 初等因子的全体称为多项式矩阵 \({\bm A}(\lambda)\) 的 初等因子组 .
举例¶
举例如下, 用以说明以上概念, 通过初等变换将多项式矩阵 \({\bm A}()\lambda\) 化为标准形:
易知, \(d_1(\lambda) = 1\) , \(d_2(\lambda) = \lambda\) , \(d_3(\lambda) = \lambda^3 + \lambda\) 为 \({\bm A}(\lambda)\) 的不变因子.
大于零的不变因子有 \(d_2(\lambda) = \lambda\) , \(d_3(\lambda) = \lambda^3 + \lambda\) ;
对于实数域, 它们分别可以分解为 \(\lambda\) , \(\lambda(\lambda^2 + 1)\) , 所以初等因子组为 \(\lambda, \lambda, \lambda^2+1\) ; 对于复数域, 它们分别可以分解为 \(\lambda\) , \(\lambda(\lambda + j)(\lambda - j)\) , 所以初等因子组为 \(\lambda, \lambda, \lambda + j, \lambda - j\) .
1.5.3. Jordan标准型¶
对于 \(n\) 阶矩阵 \({\bm A}\) , 存在可逆矩阵 \({\bm P}\) , 使得
概念与内涵¶
Jordan标准型是指具有如下形式的矩阵:
其中, 每个Jordan标准形具有如下形式:
Jordan标准形的对角元素为矩阵 \({\bm A}\) 的特征值.
求解方法¶
在复数域 \(\mathbb C\) 上求解 \(n\) 阶矩阵 \({\bm A}\) 的Jordan标准形的步骤如下:
求特征矩阵的初等因子组, 记为 \((\lambda-\lambda_1)^{m_1}, (\lambda-\lambda_2)^{m_2}, \cdots, (\lambda-\lambda_s)^{m_s}\) , 其中 \(\lambda_i\) 为矩阵 \({\bm A}\) 的特征值, 且可以相同, \(m_i\) 为对于特征值 \(\lambda_i\) 的特征值的重数, 也可相同;
写出每个初等因子 \((\lambda-\lambda_i)^{m_i}\) , \(i=1,2,\cdots, s\) 对应的Jordan块;
写出以这些Jordan块构成的Jordan标准形.
举例¶
求如下矩阵的Jordan标准形:
写出特征多项式矩阵, 并化简为标准形:
\[\begin{array}{lll} {\left[ {\begin{array}{ccc} \lambda &{ - 2}&{ - 2}\\ { - 2}&{\lambda - 1}&{ - 2}\\ 0&{ - 2}&{\lambda - 1} \end{array}} \right]\mathop \to \limits^{2{r_1}} \left[ {\begin{array}{ccc} {2\lambda }&{ - 4}&{ - 4}\\ { - 2}&{\lambda - 1}&{ - 2}\\ 0&{ - 2}&{\lambda - 1} \end{array}} \right]}\\ {\mathop \to \limits^{{r_1} + \lambda {r_2}} \left[ {\begin{array}{ccc} 0&{\lambda (\lambda - 1) - 4}&{ - 2\lambda - 4}\\ { - 2}&{\lambda - 1}&{ - 2}\\ 0&{ - 2}&{\lambda - 1} \end{array}} \right]}\\ {\mathop \to \limits^{} \left[ {\begin{array}{ccc} 0&{\lambda (\lambda - 1) - 4}&{ - 2\lambda - 4}\\ 1&0&0\\ 0&{ - 2}&{\lambda - 1} \end{array}} \right]}\\ {\mathop \to \limits^{2{c_3}} \left[ {\begin{array}{ccc} 0&{\lambda (\lambda - 1) - 4}&{ - 4\lambda - 8}\\ 1&0&0\\ 0&{ - 2}&{2(\lambda - 1)} \end{array}} \right]}\\ {\mathop \to \limits^{\begin{array}{ccc} {{c_3} + (\lambda - 1){c_2}}\\ {\;\;\;\; - \frac{1}{2}{r_3}} \end{array}} \left[ {\begin{array}{ccc} 0&{\lambda (\lambda - 1) - 4}&{{\lambda ^3} - 2{\lambda ^2} - 7\lambda - 4}\\ 1&0&0\\ 0&1&0 \end{array}} \right]}\\ {\mathop \to \limits^{{r_1} - [\lambda (\lambda - 1) - 4]{r_3}} \left[ {\begin{array}{ccc} 0&0&{{{(\lambda + 1)}^2}(\lambda - 4)}\\ 1&0&0\\ 0&1&0 \end{array}} \right]}\\ { = \left[ {\begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&{{{(\lambda + 1)}^2}(\lambda - 4)} \end{array}} \right]} \end{array} \]初等因子组为 \((\lambda+1)^2\) , \(\lambda-4\) , 它们对于的Jordan标准形为
\[\left[ {\begin{array}{ccc} 1&1\\ {}&1 \end{array}} \right],\;\left[ 4 \right] \]所求矩阵的Jordan标准形为
\[\left[ {\begin{array}{ccc} 4&{}&{}\\ {}&{ - 1}&1\\ {}&{}&{ - 1} \end{array}} \right] \]
提示
在进行因式分解时, 可以使用赋值数分解法, 假设有 \(m\) 次多项式 \(f(\lambda)\) , 代入 \(\lambda=a\) , 有 \(f(a) = X\) , 若 \(X\) 可以分解为 \(m\) 个数的乘积, 可以据此分解因式.
如对 \(f(\lambda) = \lambda^3 -2\lambda^2 -7\lambda -4\) , 有 \(f(1) = -12\) , 而 \(-3\times 2\times 2 = -12\) , 可猜想 \(f(\lambda) = (\lambda + a)(\lambda + b)(\lambda + c)\) , \(a = -4, b=1, c=1\) .
在Matlab中进行因式分解很简单
>> syms x
>> y = x^3 - 2*x^2 - 7*x - 4
>> factor(y)
ans =
[ x - 4, x + 1, x + 1]
在 Matlab 中可以很容易的实现Jordan标准形分解
>> A = [0 2 2;2 1 2;0 2 1]
>> jordan(A)
ans =
4 0 0
0 -1 1
0 0 -1
非奇异矩阵P的求法¶
求矩阵 \({\bm A}\) 的特征值与特征向量/广义特征向量, 将特征向量和广义特征向量组成矩阵 \({\bm P}\) , 即可.
以 例子(广义特征向量) 为例, 求矩阵 \({\bm P}\) , 使得矩阵 \({\bm A}\) 与对角矩阵 \({\bm J}\) 相似.
解: 依据 例子(广义特征向量) 的求解步骤求出矩阵 \({\bm A}\) 的特征值为 \(\lambda_1 = 4, \lambda_2 = \lambda_3 = -1\) ,对应于 \(\lambda_1\) 的特征向量 \({\bm x}_1 = (5, 6, 4)^T\) , 对应于 \(\lambda_2 = \lambda_3 = -1\) 的特征向量和广义特征向量 \({\bm x}_2 = (0, 1, -1)^T\) , \({\bm x}_3 = (1, -1, 1/2)^T\) .
所以取
可以验证 \({\bm P}^{-1}{\bm A}{\bm P} = {\bm J}.\)
matlab代码验证如下:
>> A=[0 2 2;2 1 2;0 2 1]
A =
0 2 2
2 1 2
0 2 1
>> P=[5 6 4;0 1 -1;1 -1 1/2]'
P =
5.0000 0 1.0000
6.0000 1.0000 -1.0000
4.0000 -1.0000 0.5000
>> inv(P)*A*P
ans =
4.0000 -0.0000 0.0000
-0.0000 -1.0000 1.0000
0.0000 0 -1.0000
>> % [1 -1 1/2] --> [2 -2 1]
>> P=[5 6 4;0 1 -1;2 -2 1]'
P =
5.0000 0 2.0000
6.0000 1.0000 -2.0000
4.0000 -1.0000 1.0000
>> inv(P)*A*P
ans =
4.0000 -0.0000 0.0000
-0.0000 -1.0000 2.0000
0.0000 0 -1.0000
1.5.4. Jordan标准型求解微分线性方程组¶
计算步骤¶
将微分线性方程组写成矩阵形式 \(\frac{{\rm d}{\bm x}}{{\rm d}t} = {\bm A}{\bm x}\) ;
求解矩阵 \({\bm A}\) 的特征值和广义特征向量, 组成矩阵 \({\bm P}\) 和Jordan标准形;
进行非奇异线性变换 \({\bm x} = {\bm P}{\bm y} \Rightarrow \frac{{\rm d}{\bm x}}{{\rm d}t} = {\bm P}\frac{{\rm d}{\bm y}}{{\rm d}t}\) , 从而 \(\frac{{\rm d}{\bm y}}{{\rm d}t} = {\bm P}^{-1}\frac{{\rm d}{\bm x}}{{\rm d}t} = {\bm P}^{-1}{\bm A}{\bm P}{\bm y}\) ;
由 \(\frac{{\rm d}{\bm y}}{{\rm d}t} = {\bm J}{\bm y}\) 求解出一般解;
再由 \({\bm x} = {\bm P}{\bm y}\) 求解出原微分方程的一般解.
举例¶
求解如下微分线性方程组的通解
解:
写成矩阵形式 \(\frac{{\rm d}{\bm x}}{{\rm d}t} = {\bm A}{\bm x}\) , 其中
\[{\bm{A}} = \left[ {\begin{array}{ccc} 0&2&2\\ 2&1&2\\ 0&2&1 \end{array}} \right] \]求解矩阵 \({\bm A}\) 的特征值与广义特征向量与 \({\bm P}\)
由 例子(广义特征向量) 知其特征值为 \(\lambda_1 = 4, \lambda_2 = \lambda_3 = -1\) ,对应于 \(\lambda_1\) 的特征向量 \({\bm x}_1 = (5, 6, 4)^T\) , 对应于 \(\lambda_2 = \lambda_3 = -1\) 的广义特征向量 \({\bm x}_2 = (0, 1, -1)^T\) , \({\bm x}_3 = (2, -2, 1)^T\) .
所以取
\[{\bm P} = \left[ {\begin{array}{ccc} 5&0&1\\ 6&1& - \\ 4&{-1}&{1{\rm{/}}2} \end{array}1} \right] \]由 \({\bm P}^{-1}{\bm A}{\bm P}\) 或者初等因子组求解出Jordan标准形
\[{\bm J} = \left[ {\begin{array}{ccc} 4&{}&{}\\ {}&{ - 1}&1\\ {}&{}&{ - 1} \end{array}} \right] \]求解 \(\frac{{\rm d}{\bm y}}{{\rm d}t} = {\bm J}{\bm y}\) 一般解
由 \({\bm x} = {\bm P}{\bm y}\) 知
提示
在Matlab中可以使用 dsolve 函数求解微分方程组, 如对于 \(\frac{{\rm d}\bm x}{{\rm d}t} = -{\bm x}\)
>> syms x(t)
Dx = diff(x);
dsolve(diff(Dx) == -x, Dx(0) == 1)
ans =
sin(t) + C3*cos(t)