6.4. 广义逆矩阵与线性方程组

6.4.1. 基本概念

考虑非齐次 ( Non-Homogeneous ) 线性方程组 ( System of linear equations )

\[{\bm A}{\bm x} = {\bm b} \]

其中, \({\bm A}\in {\mathbb C}^{m\times n}, {\bm b}\in {\mathbb C}^m\) , \({\bm x}\in {\mathbb C}^n\) 为待求解向量. 若存在 \({\bm x}\) 满足上述方程, 则称方程组 相容 或 有解 , 否则称方程组 不相容 或 无解 .

提示

• 线性 ( 可以表示成 \({\bm{Ax=b}}\) ) , 非线性 ( 不能表示成 \({\bm{Ax=b}}\) ):

• 齐次 ( \({\bm b} = 0\) ) , 非齐次 ( \({\bm b} \neq 0\) ):

• 相容 ( 有解, 不矛盾 ) , 不相容 ( 无解, 矛盾 ):

6.4.2. 几种常见解

• 线性方程组相容的充要条件: \({\bm A}{\bm A}^{(1)}{\bm b} = {\bm b}\) , 不唯一

• 不相容线性方程组的最小二乘解: \({\bm x} = {\bm A}^{(1,3)}{\bm b}\) , 不唯一

• 相容线性方程组的极小范数解: \({\bm x} = {\bm A}^{(1,4)}{\bm b}\) , 唯一, 且在 \(R({\bm A}^H)\) 中

• 不相容线性方程组的极小范数最小二乘解: \({\bm x} = {\bm A}^+{\bm b}\) , 唯一

对应地还有:

• 相容线性方程组的通解: \({\bm x} = {\bm A}^{(1)}{\bm b} + ({\bm I}-{\bm A}^{(1)}{\bm A}{\bm y})\) , \({\bm y}\in {\mathbb C}^n\)

• 设 \({\bm X}\in {\mathbb C}^{n\times m}\) , 若 \(\forall {\bm b}\in {\mathbb C}^m\) , 有 \({\bm x} = {\bm{Xb}}\) 是 \({\bm A}{\bm x} = {\bm b}\) 的最小二乘解, 则 \({\bm X} \in {\bm A}\{1,3\}\)

• 设 \({\bm X}\in {\mathbb C}^{n\times m}\) , 若 \(\forall {\bm b}\in {\mathbb C}^m\) , 有 \({\bm x} = {\bm{Xb}}\) 是 \({\bm A}{\bm x} = {\bm b}\) 的极小范数解, 则 \({\bm X} \in {\bm A}\{1,4\}\)

• 设 \({\bm X}\in {\mathbb C}^{n\times m}\) , 若 \(\forall {\bm b}\in {\mathbb C}^m\) , 有 \({\bm x} = {\bm{Xb}}\) 是 \({\bm A}{\bm x} = {\bm b}\) 的极小范数最小二乘解, 则 \({\bm X} = {\bm A}^+\)