2.1. 模糊集合

2.1.1. 引言(不确定集合)

在经典集合论中(参见 集合的概念与性质), 元素 \(x\) 是否属于集合 \(\mathbb S\) 是确定的, 且只有两种情况, 即属于或不属于. 如果元素 \(x\) 以一定的可能性属于或不属于集合 \(\mathbb S\) 呢? 这就是 模糊集合 (Fuzzy Set).

Zadeh于1965年提出模糊集合 [4] , 作为对经典集合的扩展, 在模糊集理论中, 经典集合通常被称为 明确集合 (Crisp Set), 通过引入隶属函数(Membership Function)与隶属度(Membership Degree), 来衡量元素的模糊性, 从而明确集为模糊集的特例, 即隶属函数仅有两个值( \(0, 1\) ), 隶属度为 \(0\) 或 \(1\).

注解

比如, 对于 “58岁是不是老年人” 这个问题, 很难说 “是” 还是 “不是” , 很容易想到的方法是用 \([0, 1]\) 之间的一个数来表示, 如 \(0.8\) 表示: 58岁的人有 \(80\%\) 的可能性是老年人. 如果用 \([0, 100]\) 来表示岁数, 那么一个岁数为 \(x \in [0, 100]\) 的人, 是否是老年人可以用隶属函数 \(f(x) = x/100\) 表示, 隶属度为 \(f(x)\) 的值. 然而, 对于超过 \(100\) 岁的人呢, 此时 \(f(x) > 1\) .

容易发现, 实际应用中, 我们很难确认隶属函数的具体形式. 因而, Pawlak 于1982年提出基于等价关系的近似表示方法，即用两个隶属函数的上下近似来表示, 从而引入 粗糙集 (Rough Set) 的概念 [5] .

2.1.2. 模糊集的定义

Definition 2.10 (明确集合)

明确集合 的定义可以扩展为集合(或论域) \(\mathbb X\) 和映射 \(f : {\mathbb X} \rightarrow \{0, 1\}\) 的二元组 \({\mathbb A} = ({\mathbb X}, f)\) , 其中, \(f\) 为集合 \(\mathbb A\) 的特征函数(也称示性函数, 参见 集合的特征函数)

\[f(x) = \left\{ {\begin{array}{lll} {1\;\;if\;x \in \mathbb A}\\ {0\;\;if\;x ∉ \mathbb A} \end{array}} \right. . \]

扩展上述定义, 可以得到模糊集合的定义

Definition 2.11 (模糊集合)

设有集合(或论域) \(\mathbb X\) 和映射 \(f : {\mathbb X} \rightarrow [0, 1]\) 的组合, 二元组 \({\mathbb A} = ({\mathbb X}, f)\) 确定了一个集合, 称为 模糊集合 (Fuzzy Set). 函数 \(f(x) = \mu_{\mathbb A}\) 称为模糊集 \(\mathbb A\) 的 隶属函数 (Membership Function). 对于 \(\forall x \in {\mathbb X}\), 称 \(f(x)\) 为元素 \(x\) 在模糊集 \(\mathbb A\) 中的 隶属度 (Membership Degree, Membership Grade). 记 \(F({\mathbb X})\) 为集合 \(\mathbb X\) 的全体模糊子集.

举例说明如何使用模糊集对语言表达进行建模, 如要表示 “年轻” 的概念, 可以用模糊集 \({\mathbb A} = ({\mathbb X}, f)\) 表示, 其中岁数集合为 \(\mathbb \in [0, 100]\) , 隶属函数可以表示为

\[\mu_{\mathbb A} = \left\{ {\begin{array}{lll} {1\;\;\;\;\;\;\;{\rm if}\;0 \le x \le 20}\\ {\frac{{40 - x}}{{20}}\;\;{\rm if}\;20 \le x \le 40}\\ {0\;\;\;\;\;\;\;{\rm otherwise}\;\;} \end{array}} \right. \]

提示

明确集相当于模糊集的特例, 即当模糊集的隶属函数取明确集的特征函数时 (即: \(f : {\mathbb X} \rightarrow \{0, 1\}\) ), 模糊集退化为明确集.

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2.1.3. 模糊集与明确集

给定模糊集 \({\mathbb A} = ({\mathbb X}, f)\) , \(\alpha \in [0, 1]\) , 有如下明确集:

  • α-割集 (α-cut set, α-level set): \({\mathbb A}^{\ge\alpha} = {\mathbb A}_{\alpha} = \{x\in {\mathbb X} | f(x)\geq \alpha\}\)

  • 强α-割集 (strong α-cut set, strong α-level set): \({\mathbb A}^{ >\alpha} = {\mathbb A}^{'}_{\alpha} = \{x\in {\mathbb X} | f(x) > \alpha\}\)

  • 紧集 (support set): \(S({\mathbb A}) = Supp({\mathbb A}) = {\mathbb A}^{ > 0} = \{x\in {\mathbb X} | f(x) > 0\}\)

  • 核集 (core set, kernel set): \(C({\mathbb A}) = Core({\mathbb A}) = {\mathbb A}^{=1} = \{x\in {\mathbb X} | f(x)= 1\}\)

2.1.4. 模糊集的表示

记模糊集 \(\mathbb A\) , 隶属函数为 \(\mu_{\mathbb A}\) , 元素 \(x\) 属于模糊集 \(\mathbb A\) 的隶属度为 \(\mu_{\mathbb A}(x)\) , 简记为 \(\mu(x)\) . 则有以下表示方法.

Zadeh表示法

Zadeh表示法如下:

\[{\mathbb A} = \frac{\mu(x_1)}{x_1} + \frac{\mu(x_2)}{x_2} + \cdots + \frac{\mu(x_n)}{x_n}, \]

或

\[{\mathbb A} = \mu(x_1)/{x_1} + \mu(x_2)/{x_2} + \cdots + {\mu(x_n)}/{x_n}, \]

其中, 符号 \(+, /\) 不表示四则运算中的加法和除法, \(\frac{\mu(x_i)}{x_i}\) 表示元素 \(x_i\) 隶属于模糊集 \(\mathbb A\) 的隶属度是 \(\mu(x_i)\) .

若集合 \(\mathbb A\) 为无限集合, 则有以下表示方法

\[{\mathbb A} = \int\frac{\mu(x)}{x} \]

序偶表示法

\[{\mathbb A} = \left\{({x_1}, \mu(x_1)), ({x_2}, \mu(x_2)), \cdots, ({x_n}, \mu(x_n))\right\}, \]

向量表示法

\[{\mathbb A} = (\mu(x_1), \mu(x_2), \cdots, \mu(x_n)) \]

2.1.5. 特殊模糊集

由于模糊集合用隶属度表征, 因而对于两个模糊集合 \({\mathbb A}, {\mathbb B}\) , 其隶属函数分别为 \(\mu_{\mathbb A}\) , \(\mu_{\mathbb B}\) , 则

  • 空集 (Empty Set): \({\mathbb A} = \emptyset\) \(\Leftrightarrow\) \(\mu_{\mathbb A}(x) = 0\)

  • 全集 (Full Set): \({\mathbb A} = {\mathbb E}\) \(\Leftrightarrow\) \(\mu_{\mathbb A}(x) = 1\)

  • 子集 (Subset): \({\mathbb B}\subset {\mathbb A}\) \(\Leftrightarrow\) \(\mu_{\mathbb B}(x) \le \mu_{\mathbb A}(x)\)

  • 相等 (equal): \({\mathbb A} = {\mathbb B}\) \(\Leftrightarrow\) \(\mu_{\mathbb A}(x) = \mu_{\mathbb B}(x)\)

2.1.6. 模糊集的运算

模糊算子

由于模糊集合用隶属度表征, 因而对于两个模糊集合 \({\mathbb A}, {\mathbb B}\) , 其隶属函数分别为 \(\mu_{\mathbb A}\) , \(\mu_{\mathbb B}\) , 一般地, 定义

  • 交 (Intersection): \({\mathbb A} \cap {\mathbb B}\) \(\Leftrightarrow\) \(\mu_{{\mathbb A} \cap {\mathbb B}}(x) = {\rm min}(\mu_{\mathbb A}(x), \mu_{\mathbb B}(x)) = \mu_{\mathbb A}(x) \wedge \mu_{\mathbb B}(x)\)

  • 并 (Union): \({\mathbb A} \cup {\mathbb B}\) \(\Leftrightarrow\) \(\mu_{{\mathbb A} \cup {\mathbb B}}(x) = {\rm max}(\mu_{\mathbb A}(x), \mu_{\mathbb B}(x)) = \mu_{\mathbb A}(x) \vee \mu_{\mathbb B}(x)\)

  • 补 (Complement): \(\bar{\mathbb A} = {\mathbb B}\) \(\Leftrightarrow\) \(\mu_{\bar{\mathbb A}}(x) = 1- \mu_{\mathbb A}(x)\)

两个模糊集合的运算的实质是隶属度函数的运算, 上述定义中采用 \({\rm max}, {\rm min}\) 常用模糊算子, 也可以采用其它算子.

  • 交 (Intersection): \({\mathbb C} = {\mathbb A} \cap {\mathbb B}\)

    • 模糊交算子: \(\mu_{\mathbb C}(x) = {\rm min}(\mu_{\mathbb A}(x), \mu_{\mathbb B}(x))\)

    • 代数积算子: \(\mu_{\mathbb C}(x) = \mu_{\mathbb A}(x) \cdot \mu_{\mathbb B}(x)\)

    • 有界积算子: \(\mu_{\mathbb C}(x) = {\rm max}(0, \mu_{\mathbb A}(x) + \mu_{\mathbb B}(x)-1)\)

  • 并 (Union): \({\mathbb C} = {\mathbb A} \cup {\mathbb B}\)

    • 模糊并算子: \(\mu_{\mathbb C}(x) = {\rm max}(\mu_{\mathbb A}(x), \mu_{\mathbb B}(x))\)

    • 代数和算子: \(\mu_{\mathbb C}(x) = \mu_{\mathbb A}(x) + \mu_{\mathbb B}(x) - \mu_{\mathbb A}(x) \cdot \mu_{\mathbb B}(x)\)

    • 有界和算子: \(\mu_{\mathbb C}(x) = {\rm min}(1, \mu_{\mathbb A}(x) + \mu_{\mathbb B}(x)-1)\)

  • 平衡算子: \(\mu_{{\mathbb C}}(x) = [\mu_{\mathbb A}(x) \cdot \mu_{\mathbb B}(x)]^{1-\gamma} \cdot [1 - (1-\mu_{\mathbb A}(x))(1-\mu_{\mathbb B}(x))]\) , \(\gamma \in [0, 1]\)

提示

取最大最小不可避免地会丢失信息, 平衡算子可以起到信息补偿作用.

模糊集间的运算定律

  1. 交换律: \(\mathbb{A} \cap \mathbb{B}\), \(\mathbb{A} \cup \mathbb{B}\)

  2. 结合律: \(\mathbb{A} \cap (\mathbb{B} \cap \mathbb{C}) = (\mathbb{A} \cap \mathbb{B}) \cap \mathbb{C}\), \(\mathbb{A} \cup (\mathbb{B} \cup \mathbb{C}) = (\mathbb{A} \cup \mathbb{B}) \cup \mathbb{C}\)

  3. 分配律: \(\mathbb{A} \cap (\mathbb{B} \cup \mathbb{C}) = (\mathbb{A} \cap \mathbb{B}) \cup (\mathbb{A} \cap \mathbb{C})\), \(\mathbb{A} \cup (\mathbb{B} \cap \mathbb{C}) = (\mathbb{A} \cup \mathbb{B}) \cap (\mathbb{A} \cup \mathbb{C})\)

  4. 对偶律: \(\overline{\mathbb{A} \cup \mathbb{B}} = \bar{\mathbb A} \cap \bar{\mathbb B}\) , \(\overline{\mathbb{A} \cap \mathbb{B}} = \bar{\mathbb A} \cup \bar{\mathbb B}\)

  5. 两极律: \(\mathbb{A} \cap \mathbb{E} = \mathbb{A}, \mathbb{A} \cup \mathbb{E} = \mathbb{E}\)

  6. 零一律: \(\mathbb{A} \cap \mathbb{\emptyset} = \mathbb{\emptyset}, \mathbb{A} \cup \mathbb{\emptyset} = \mathbb{A}\)

  7. 吸收律: \(\mathbb{A}\cap (\mathbb{A}\cup \mathbb{B}) = \mathbb{A}, \mathbb{A} \cup (\mathbb{A}\cap \mathbb{B}) = \mathbb{A}\)

  8. 等幂律: \(\mathbb{A} \cap \mathbb{A} = \mathbb{A}, \mathbb{A} \cup \mathbb{A} = \mathbb{A}\)

  9. 复原率: \(\bar{\bar{\mathbb A}} = {\mathbb A}\)