2.1. 集合的概念与性质¶
2.1.1. 一般集合¶
概念¶
定义: 集合 (set)是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象构成的总体. 其中, 构成集合的这些对象称为该集合的 元素 .
注解
将上述定义的集合称为一般集合. 一个元素是否在一个集合中, 在于该元素是否具备上述特定性质, 该性质是具体的明确的, 如果该性质不具体不明确呢?
一般地集合是指具有如下性质的集合:
确定性: 即任给一元素, 它要么在该集合中, 要么不在.
互异性: 即该集合中的任意两个元素不同, 每个元素只能出现一次.
无序性: 即该集合中的元素无顺序关系.
注解
关于上述性质, 思考如下:
上述定义的一般集合的概念可以概括所有集合, 即对象全体吗?
确定性: 如果元素以一定的可能性在呢?元素不确定, 上述特定性质不确定?
互异性: 如果有两个及以上的元素相同呢? 如果出现多次呢?可否定义集合规则: 可以出现 次的对象全体?(可以, 不过还是普通集合); 可否定义集合规则: 可以出现 随机次数的对象全体?(可以, 不过还是普通集合); 如给定对象全体 , 如果不指明特定性质, 是不能判断它是否是一般的集合. 如果定义集合为: 出现次数等于其数值且小于4的正整数集, 上述对象化为一般集合 .
无序性: 若有序呢? 可否定义集合规则: 对象全体?
集合与集合的关系¶
给定集合 , , 定义如下关系:
包含 (): , 称 包含于 或 包含 .
真包含 (): , 称 真包含于 或 真包含 .
等于 (): , 集合 中的元素都在集合 中, 且集合 中的元素都在集合 中.
不等于 (): , 集合 中, 至少有一个元素不在集合 中.
定义: 子集 ( Subset ), 一般地, 对于集合 , , 若集合 中的元素都是集合 中的元素, 即 , 有 , 则称这两个集合具有包含关系, 称 包含于() 或 包含( ) . 空集(没有任何元素, 记为 ) 是任何集合的子集.
定义: 真子集 ( Proper Subset ) 如果集合 是 的子集, 且 , 即 中至少有一个元素不属于 , 那么 就是 的真子集, 可记作: .
集合间的运算¶
交(): , 如 .
并(): , 如 .
和(): , 如 .
差(): , 也称相对补集, 如 .
补(), 设 是一个集合, 是 的一个子集, 由 中所有不属于 的元素组成的集合, 叫做子集 在 中的补集, 也称绝对补集, 记作 .
集合间的运算定律¶
交换律: , ,
结合律: , ,
分配律: ,
对偶律:
同一律:
零一律:
吸收律:
等幂律:
反演律(德·摩根律): ,