2.1. 集合的概念与性质¶
2.1.1. 一般集合¶
概念¶
定义: 集合 (set)是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象构成的总体. 其中, 构成集合的这些对象称为该集合的 元素 .
注解
将上述定义的集合称为一般集合. 一个元素是否在一个集合中, 在于该元素是否具备上述特定性质, 该性质是具体的明确的, 如果该性质不具体不明确呢?
一般地集合是指具有如下性质的集合:
确定性: 即任给一元素, 它要么在该集合中, 要么不在.
互异性: 即该集合中的任意两个元素不同, 每个元素只能出现一次.
无序性: 即该集合中的元素无顺序关系.
注解
关于上述性质, 思考如下:
上述定义的一般集合的概念可以概括所有集合, 即对象全体吗?
确定性: 如果元素以一定的可能性在呢?元素不确定, 上述特定性质不确定?
互异性: 如果有两个及以上的元素相同呢? 如果出现多次呢?可否定义集合规则: 可以出现 \(N\) 次的对象全体?(可以, 不过还是普通集合); 可否定义集合规则: 可以出现 随机次数的对象全体?(可以, 不过还是普通集合); 如给定对象全体 \(\{1, 2, 2, 3, 3, 3\}\), 如果不指明特定性质, 是不能判断它是否是一般的集合. 如果定义集合为: 出现次数等于其数值且小于4的正整数集, 上述对象化为一般集合 \(\{1, 2, 3\}\).
无序性: 若有序呢? 可否定义集合规则: 对象全体?
元素与集合的关系¶
给定集合 \(\mathbb{S}\), 元素 \(x\), 定义如下关系:
属于(\(\in\)): \(x \in \mathbb{S}\)
不属于(\(\notin\)): \(x \notin \mathbb{S}\)
集合与集合的关系¶
给定集合 \(\mathbb{A}\), \(\mathbb{B}\), 定义如下关系:
包含 (\(\subseteq\)): \(\mathbb{A} \subseteq \mathbb{B}\) , 称 \(\mathbb{A}\) 包含于 \(\mathbb{B}\) 或 \(\mathbb{B}\) 包含 \(\mathbb{A}\) .
真包含 (\(\subsetneq\)): \(\mathbb{A} \subsetneq \mathbb{B}\) , 称 \(\mathbb{A}\) 真包含于 \(\mathbb{B}\) 或 \(\mathbb{B}\) 真包含 \(\mathbb{A}\) .
等于 (\(=\)): \(\mathbb{A} = \mathbb{B}\) , 集合 \(\mathbb{A}\) 中的元素都在集合 \(\mathbb{B}\) 中, 且集合 \(\mathbb{B}\) 中的元素都在集合 \(\mathbb{A}\) 中.
不等于 (\(\neq\)): \(\mathbb{A} \neq \mathbb{B}\), 集合 \(\mathbb{A}\) 中, 至少有一个元素不在集合 \(\mathbb{B}\) 中.
定义: 子集 ( Subset ), 一般地, 对于集合 \(\mathbb{A}\), \(\mathbb{B}\) , 若集合 \(\mathbb{A}\) 中的元素都是集合 \(\mathbb{B}\) 中的元素, 即 \(\forall x \in \mathbb{A}\) , 有 \(x \in \mathbb{B}\) , 则称这两个集合具有包含关系, 称 \(\mathbb{A}\) 包含于(\(\subseteq\)) \(\mathbb{B}\) 或 \(\mathbb{B}\) 包含( \(\supseteq\) ) \(\mathbb{A}\) . 空集(没有任何元素, 记为 \(\mathbb{\emptyset}\)) 是任何集合的子集.
定义: 真子集 ( Proper Subset ) 如果集合 \(\mathbb{A}\) 是 \(\mathbb{B}\) 的子集, 且 \(\mathbb{A} \neq \mathbb{B}\), 即 \(\mathbb{B}\) 中至少有一个元素不属于 \(\mathbb{A}\) , 那么 \(\mathbb{A}\) 就是 \(\mathbb{B}\) 的真子集, 可记作: \(\mathbb{A} \subsetneq \mathbb{B}\) .
集合间的运算¶
交(\(\cap\)): \(\mathbb{A} \cap \mathbb{B} = \{x \mid x\in \mathbb{A} 且 x \in \mathbb{B} \}\), 如 \(\mathbb{A} \cap \mathbb{B}\) .
并(\(\cup\)): \(\mathbb{A} \cup \mathbb{B} = \{x \mid x\in \mathbb{A} 或 x \in \mathbb{B} \}\), 如 \(\{1, 2\} \cup \{3, 4, 5\} = \{1, 2, 3, 4, 5\}\) .
和(\(+\)): \(\mathbb{A} + \mathbb{B} = \{x+y \mid x\in \mathbb{A}, y \in \mathbb{B} \}\), 如 \(\{1, 2\} + \{2, 4\} = \{3, 4, 5, 6\}\) .
差(\(-\)): \(\mathbb{A} - \mathbb{B} = \{x \mid x\in \mathbb{A}, x \notin \mathbb{B} \}\), 也称相对补集, 如 \(\{1, 2\} + \{2, 4\} = \{1\}\) .
补(\(\complement\)), 设 \(\mathbb{U}\) 是一个集合，\(\mathbb{A}\) 是 \(\mathbb{U}\) 的一个子集, 由 \(\mathbb{U}\) 中所有不属于 \(\mathbb{A}\) 的元素组成的集合, 叫做子集 \(\mathbb{A}\) 在 \(\mathbb{U}\) 中的补集, 也称绝对补集, 记作 \(\complement _{\mathbb{U}}\mathbb{A}\) .
集合间的运算定律¶
交换律: \(\mathbb{A} \cap \mathbb{B}\), \(\mathbb{A} \cup \mathbb{B}\), \(\mathbb{A} + \mathbb{B}\)
结合律: \(\mathbb{A} \cap (\mathbb{B} \cap \mathbb{C}) = (\mathbb{A} \cap \mathbb{B}) \cap \mathbb{C}\), \(\mathbb{A} \cup (\mathbb{B} \cup \mathbb{C}) = (\mathbb{A} \cup \mathbb{B}) \cup \mathbb{C}\), \((\mathbb{A} + \mathbb{B}) + \mathbb{C} = \mathbb{A} + (\mathbb{B} + \mathbb{C})\)
分配律: \(\mathbb{A} \cap (\mathbb{B} \cup \mathbb{C}) = (\mathbb{A} \cap \mathbb{B}) \cup (\mathbb{A} \cap \mathbb{C})\), \(\mathbb{A} \cup (\mathbb{B} \cap \mathbb{C}) = (\mathbb{A} \cup \mathbb{B}) \cap (\mathbb{A} \cup \mathbb{C})\)
对偶律: \(xxx\)
同一律: \(\mathbb{A} \cap \mathbb{U} = \mathbb{A}, \mathbb{A} \cup \mathbb{\emptyset} = \mathbb{A}\)
零一律: \(\mathbb{A} \cap \mathbb{\emptyset} = \mathbb{\emptyset}, \mathbb{A} \cup \mathbb{U} = \mathbb{U}\)
吸收律: \(\mathbb{A}\cap (\mathbb{A}\cup \mathbb{B}) = \mathbb{A}, \mathbb{A} \cup (\mathbb{A}\cap \mathbb{B}) = \mathbb{A}\)
等幂律: \(\mathbb{A} \cap \mathbb{A} = \mathbb{A}, \mathbb{A} \cup \mathbb{A} = \mathbb{A}\)
反演律(德·摩根律): \(\complement_{\mathbb{U}}{\mathbb{A} \cap \mathbb{B}} = \complement_{\mathbb{U}}{\mathbb{A}} \cup \complement_{\mathbb{U}}{\mathbb{B}}\), \(\complement_{\mathbb{U}}{\mathbb{A} \cup \mathbb{B}} = \complement_{\mathbb{U}}{\mathbb{A}} \cap \complement_{\mathbb{U}}{\mathbb{B}}\)
集合的特征函数¶
设有集合 \(\mathbb X\) 和 \(\mathbb A\) , 且 \(\mathbb A\) 是 \(\mathbb X\) 的子集, 即 \({\mathbb A} \subset {\mathbb X}\) , 称函数
为集合 \(\mathbb A\) 在 \(\mathbb X\) 中的 特征函数 (Characteristic Function).
集合的势与基数¶
在集合论中, 集合 \({\mathbb A}\) 的势 (cardinality) 用于指集合的元素的个数, 通常记作 \(|{\mathbb A}|\) 或 \({\rm card} {\mathbb A}\) 或 \(n({\mathbb A})\) .
基数 (cardinal number)