2.1. 集合的概念与性质

2.1.1. 一般集合

概念

定义: 集合 (set)是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象构成的总体. 其中, 构成集合的这些对象称为该集合的 元素 .

注解

将上述定义的集合称为一般集合. 一个元素是否在一个集合中, 在于该元素是否具备上述特定性质, 该性质是具体的明确的, 如果该性质不具体不明确呢?

一般地集合是指具有如下性质的集合:

  1. 确定性: 即任给一元素, 它要么在该集合中, 要么不在.

  2. 互异性: 即该集合中的任意两个元素不同, 每个元素只能出现一次.

  3. 无序性: 即该集合中的元素无顺序关系.

注解

关于上述性质, 思考如下:

  1. 上述定义的一般集合的概念可以概括所有集合, 即对象全体吗?

  2. 确定性: 如果元素以一定的可能性在呢?元素不确定, 上述特定性质不确定?

  3. 互异性: 如果有两个及以上的元素相同呢? 如果出现多次呢?可否定义集合规则: 可以出现 NN 次的对象全体?(可以, 不过还是普通集合); 可否定义集合规则: 可以出现 随机次数的对象全体?(可以, 不过还是普通集合); 如给定对象全体 {1,2,2,3,3,3}\{1, 2, 2, 3, 3, 3\}, 如果不指明特定性质, 是不能判断它是否是一般的集合. 如果定义集合为: 出现次数等于其数值且小于4的正整数集, 上述对象化为一般集合 {1,2,3}\{1, 2, 3\}.

  4. 无序性: 若有序呢? 可否定义集合规则: 对象全体?

元素与集合的关系

给定集合 S\mathbb{S}, 元素 xx, 定义如下关系:

  1. 属于(\in): xSx \in \mathbb{S}

  2. 不属于(\notin): xSx \notin \mathbb{S}

集合与集合的关系

给定集合 A\mathbb{A}, B\mathbb{B}, 定义如下关系:

  • 包含 (\subseteq): AB\mathbb{A} \subseteq \mathbb{B} , 称 A\mathbb{A} 包含于 B\mathbb{B}B\mathbb{B} 包含 A\mathbb{A} .

  • 真包含 (\subsetneq): AB\mathbb{A} \subsetneq \mathbb{B} , 称 A\mathbb{A} 真包含于 B\mathbb{B}B\mathbb{B} 真包含 A\mathbb{A} .

  • 等于 (==): A=B\mathbb{A} = \mathbb{B} , 集合 A\mathbb{A} 中的元素都在集合 B\mathbb{B} 中, 且集合 B\mathbb{B} 中的元素都在集合 A\mathbb{A} 中.

  • 不等于 (\neq): AB\mathbb{A} \neq \mathbb{B}, 集合 A\mathbb{A} 中, 至少有一个元素不在集合 B\mathbb{B} 中.

定义: 子集 ( Subset ), 一般地, 对于集合 A\mathbb{A}, B\mathbb{B} , 若集合 A\mathbb{A} 中的元素都是集合 B\mathbb{B} 中的元素, 即 xA\forall x \in \mathbb{A} , 有 xBx \in \mathbb{B} , 则称这两个集合具有包含关系, 称 A\mathbb{A} 包含于(\subseteq) B\mathbb{B}B\mathbb{B} 包含( \supseteq ) A\mathbb{A} . 空集(没有任何元素, 记为 \mathbb{\emptyset}) 是任何集合的子集.

定义: 真子集 ( Proper Subset ) 如果集合 A\mathbb{A}B\mathbb{B} 的子集, 且 AB\mathbb{A} \neq \mathbb{B}, 即 B\mathbb{B} 中至少有一个元素不属于 A\mathbb{A} , 那么 A\mathbb{A} 就是 B\mathbb{B} 的真子集, 可记作: AB\mathbb{A} \subsetneq \mathbb{B} .

集合间的运算

  • 交(\cap): AB={xxAxB}\mathbb{A} \cap \mathbb{B} = \{x \mid x\in \mathbb{A} 且 x \in \mathbb{B} \}, 如 AB\mathbb{A} \cap \mathbb{B} .

  • 并(\cup): AB={xxAxB}\mathbb{A} \cup \mathbb{B} = \{x \mid x\in \mathbb{A} 或 x \in \mathbb{B} \}, 如 {1,2}{3,4,5}={1,2,3,4,5}\{1, 2\} \cup \{3, 4, 5\} = \{1, 2, 3, 4, 5\} .

  • 和(++): A+B={x+yxA,yB}\mathbb{A} + \mathbb{B} = \{x+y \mid x\in \mathbb{A}, y \in \mathbb{B} \}, 如 {1,2}+{2,4}={3,4,5,6}\{1, 2\} + \{2, 4\} = \{3, 4, 5, 6\} .

  • 差(-): AB={xxA,xB}\mathbb{A} - \mathbb{B} = \{x \mid x\in \mathbb{A}, x \notin \mathbb{B} \}, 也称相对补集, 如 {1,2}+{2,4}={1}\{1, 2\} + \{2, 4\} = \{1\} .

  • 补(\complement), 设 U\mathbb{U} 是一个集合,A\mathbb{A}U\mathbb{U} 的一个子集, 由 U\mathbb{U} 中所有不属于 A\mathbb{A} 的元素组成的集合, 叫做子集 A\mathbb{A}U\mathbb{U} 中的补集, 也称绝对补集, 记作 UA\complement _{\mathbb{U}}\mathbb{A} .

集合间的运算定律

  1. 交换律: AB\mathbb{A} \cap \mathbb{B}, AB\mathbb{A} \cup \mathbb{B}, A+B\mathbb{A} + \mathbb{B}

  2. 结合律: A(BC)=(AB)C\mathbb{A} \cap (\mathbb{B} \cap \mathbb{C}) = (\mathbb{A} \cap \mathbb{B}) \cap \mathbb{C}, A(BC)=(AB)C\mathbb{A} \cup (\mathbb{B} \cup \mathbb{C}) = (\mathbb{A} \cup \mathbb{B}) \cup \mathbb{C}, (A+B)+C=A+(B+C)(\mathbb{A} + \mathbb{B}) + \mathbb{C} = \mathbb{A} + (\mathbb{B} + \mathbb{C})

  3. 分配律: A(BC)=(AB)(AC)\mathbb{A} \cap (\mathbb{B} \cup \mathbb{C}) = (\mathbb{A} \cap \mathbb{B}) \cup (\mathbb{A} \cap \mathbb{C}), A(BC)=(AB)(AC)\mathbb{A} \cup (\mathbb{B} \cap \mathbb{C}) = (\mathbb{A} \cup \mathbb{B}) \cap (\mathbb{A} \cup \mathbb{C})

  4. 对偶律: xxxxxx

  5. 同一律: AU=A,A=A\mathbb{A} \cap \mathbb{U} = \mathbb{A}, \mathbb{A} \cup \mathbb{\emptyset} = \mathbb{A}

  6. 零一律: A=,AU=U\mathbb{A} \cap \mathbb{\emptyset} = \mathbb{\emptyset}, \mathbb{A} \cup \mathbb{U} = \mathbb{U}

  7. 吸收律: A(AB)=A,A(AB)=A\mathbb{A}\cap (\mathbb{A}\cup \mathbb{B}) = \mathbb{A}, \mathbb{A} \cup (\mathbb{A}\cap \mathbb{B}) = \mathbb{A}

  8. 等幂律: AA=A,AA=A\mathbb{A} \cap \mathbb{A} = \mathbb{A}, \mathbb{A} \cup \mathbb{A} = \mathbb{A}

  9. 反演律(德·摩根律): UAB=UAUB\complement_{\mathbb{U}}{\mathbb{A} \cap \mathbb{B}} = \complement_{\mathbb{U}}{\mathbb{A}} \cup \complement_{\mathbb{U}}{\mathbb{B}}, UAB=UAUB\complement_{\mathbb{U}}{\mathbb{A} \cup \mathbb{B}} = \complement_{\mathbb{U}}{\mathbb{A}} \cap \complement_{\mathbb{U}}{\mathbb{B}}

集合的特征函数

Definition 2.2 (集合的特征函数)

设有集合 X\mathbb XA\mathbb A , 且 A\mathbb AX\mathbb X 的子集, 即 AX{\mathbb A} \subset {\mathbb X} , 称函数

(2.4)f(x)={1    if  xA0    if  xAf(x) = \left\{ {\begin{array}{lll} {1\;\;if\;x \in \mathbb A}\\ {0\;\;if\;x ∉ \mathbb A} \end{array}} \right.

为集合 A\mathbb AX\mathbb X 中的 特征函数 (Characteristic Function).

集合的势与基数

在集合论中, 集合 A{\mathbb A} 的势 (cardinality) 用于指集合的元素的个数, 通常记作 A|{\mathbb A}|cardA{\rm card} {\mathbb A}n(A)n({\mathbb A}) .

基数 (cardinal number)

2.1.2. 其它集合

模糊集

具体参见 模糊集合

粗糙集

具体参见 模糊集合