6.3. Takagi-Sugeno-Kang模糊系统

如今比较常用的是 Takagi-Sugeno-Kang (TSK) 型模糊推理系统 (Fuzzy Inference System, FIS) [5][6]. Petr 等人于2005年提出 在线学习式TSK模型 [1C.Petr.2005] , Gu等人于2018年提出基于贝叶斯的TSK-FIS [8] .

6.3.1. TSKFIS原理

一个TSK模糊系统主要由 “IF-THEN” 模糊规则构成. 给定 \(d-\) 维输入向量 \({\bm x} = [x_1, x_2, \cdots, x_d]^T\) , 记第 \(k\) 个规则为 \(R^k\) , 在则TSK模糊系统中, \(R^k\) 可以表示为

\[{\rm IF}\; x_1(k)\; {\rm is}\; A_{k1}, x_2(k)\; {\rm is}\; A_{k2}, \cdots, x_d(k)\; {\rm is}\; A_{kd} \\ {\rm THEN} \; f_k({\bm x}) = q_{k0} + \sum_{j=1}^d q_{kj}x_j = {\bm q}_k^T \tilde{\bm x}_n \]

其中, \(A_{ki} (i=1,2,\cdots, d)\) 是一个模糊集, \(k=1,2,\cdots, K\) , \(\tilde{{\bm x}} = [1, {\bm x}_n^T]^T\) . 且 \({\bm q}_k = [q_{k0}, q_{k1}, \cdots, q_{kd}]^T\) 是第 \(k\) 个规则对应结论的参数向量, 为指定或可学习(如自适应神经模糊推理系统中的权重).

若使用高斯核表示模糊集 \(A_{ki}\) 对应的隶属函数 \(A_{ki}(x_i)\) , 则

\[\mu_{A_{ki}}(x_i) = {\rm exp}\left(\frac{-\|x_i - c_{ki}\|^2}{\sigma_{ki}^2}\right) \]

其中, \(c_{ki}, \sigma_{ki}\) 分别对应高斯隶属函数中心(均值)和宽度(标准差).

TSK模糊系统的输出可以表示为

\[\hat{y} = \sum_{k=1}^K \frac{\mu_k({\bm x})}{\sum_{k=1}^K\mu_{k}({\bm x})} f_k({\bm x}) = \sum_{k=1}^K \hat{\mu}_K({\bm x})f_k({\bm x}) \]

其中, \(\mu_k({\bm x})\) 和 \(\hat{\mu}({\bm x})\) 分别为第 \(k\) 个规则对应的模糊隶属函数和归一化模糊隶属函数:

\[\mu_k({\bm x}) = \prod_{i=1}^d \mu_{A_{ki}}(x_i), \; \hat{\mu}_k({\bm x}) = \frac{\mu_k({\bm x})}{\sum_{k=1}^K \mu_k({\bm x})} \]