4.1. 模糊关系

4.1.1. 明确关系与模糊关系

Definition 4.7 (明确关系(Crisp Relation))

给定明确集合 \({\mathbb X}, {\mathbb Y}\) , 直积 \({\mathbb X} \times {\mathbb Y} = \{(x, y)|x\in {\mathbb X}, y\in {\mathbb Y}\}\) 的一个子集 \({\mathbb R}\) 称为集合 \(\mathbb X\) 到 \(\mathbb Y\) 的一个 明确关系 (Crisp Relation). 这种关系可以用特征函数表示为

\[\mu_{\mathbb R}(x,y) : {\mathbb X} \times {\mathbb Y} \rightarrow \{0, 1\} \]

更近一步地, 可表示为:

\[\mu_{\mathbb R}(x,y) = \left\{ {\begin{array}{lll} {1, \;\;{\rm if}(x,y)\in{\mathbb R}}\\ {0, \;\;{\rm otherwise}} \end{array}} \right. \]
Definition 4.8 (模糊关系(Fuzzy Relation))

给定明确集合 \({\mathbb X}, {\mathbb Y}\) , 直积 \({\mathbb X} \times {\mathbb Y} = \{(x, y)|x\in {\mathbb X}, y\in {\mathbb Y}\}\) 的一个模糊子集 \({\mathbb R}\) 称为集合 \(\mathbb X\) 到 \(\mathbb Y\) 的一个 模糊关系 . 用隶属函数可以表示为

\[\mu_{\mathbb R}(x,y) : {\mathbb X} \times {\mathbb Y} \rightarrow [0, 1], \]

反应了 \({\mathbb X}, {\mathbb Y}\) 之间的关系程度.

4.1.2. 模糊矩阵

设集合 \(\mathbb X\) 含有 \(m\) 个元素, 集合 \(\mathbb Y\) 含有 \(n\) 个元素, 模糊子集 \({\mathbb R}\) 为集合 \(\mathbb X\) 到 \(\mathbb Y\) 的一个模糊关系, 则模糊关系可以用 \(m\times n\) 的矩阵表示, 称为 模糊关系矩阵 或 隶属矩阵, 简称 模糊矩阵 (Fuzzy Matrix).

\[{\mu _{\mathbb R}} = \left[ {\begin{array}{cccc} {{\mu _{\mathbb R}}({x_1},{y_1})}&{{\mu _{\mathbb R}}({x_1},{y_2})}& \cdots &{{\mu _{\mathbb R}}({x_1},{y_n})}\\ {{\mu _{\mathbb R}}({x_2},{y_1})}&{{\mu _{\mathbb R}}({x_2},{y_2})}& \cdots &{{\mu _{\mathbb R}}({x_2},{y_n})}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ {{\mu _{\mathbb R}}({x_m},{y_1})}&{{\mu _{\mathbb R}}({x_m},{y_2})}& \cdots &{{\mu _{\mathbb R}}({x_m},{y_n})} \end{array}} \right] \]

4.1.3. 模糊关系的性质

  • 自反性: \(\mu_{\mathbb R}(x, x) = 1\)

  • 对称性: \(\mu_{\mathbb R}(x, y) = \mu_{\mathbb R}(y, x)\)

  • 传递性: