1. 概率论基础¶

1.1. 概率空间与随机变量¶

1.1.1. 柯尔莫哥洛夫概率公理化体系¶

概率论公里化有三种学派：主观（任何命题都看作事件）、客观（频率的极限）、以测度论为基础（柯尔莫哥洛夫）

是什么¶

是一种概率论公里化方法，结合了集合论、测度论、实变函数论（与复变函数论关系？）；
是一个概率空间 \((\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})\) 的可测描述；
测度为概率、可测函数为随机变量、全直线对应概率空间、点集对应事件集；

为什么¶

19世纪下半叶，概率论自身有了一定的发展，但诸如概率、收敛性、随机变量数学期望等没有严格定义。

为什么要有公里化方法：
为什么会想到用测度论：

怎么办¶

怎么结合集合论、测度论、实变函数论公里化概率论
怎么用这种公里化系统

概率空间

概率空间可以用一个三元组表示为 \((\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})\) ，即样本空间 \(\Omega\) 上的事件 \(\mathcal{F}\) 对应的概率测度 \(\mathbb{P}\) ，其中：

事件域： 事件域 \(\mathcal{F}\) 为样本空间 \(\Omega\) 的子集生成的 \(\sigma\) -代数，即满足：
- 空集是任意集合的子集： \(\emptyset \in \mathcal{F}\)
- 补运算封闭性：若 \(A \in \mathcal{F}\) ，则 \(A^c \in \mathcal{F}\)
- 并集运算封闭性：若 \({A_1, A_2, ..., A_n, ...} \subset \mathcal{F}\) ，则 \({\bigcup}_{n=1}^{\infty} \in \mathcal{F}\)
概率测度： 概率测度 \(\mathbb{P}\) 是定义在事件域 \(\mathcal{F}\) 上，取值为 \([0, 1]\) 的函数
- 非负性：\(P(A) > 0\)
- 规范性：测度空间为1， \(P(\Omega) = 1\)
- 可列（完全）可加性：相互独立事件联合概率为各自概率和，若 \({A_1, A_2, ..., A_n, ...} \subset \mathcal{F}\) 且两两互不相交（\(A_m \bigcap A_n = \emptyset, m \neq n\)）

提示

\(\sigma\) -代数又称 \(\sigma\) -域，是一个集合，是一个满足对交并补运算封闭的集合（数域是满足四则运算封闭的集合），集合 \(X\) 上的 \(\sigma\) -代数是集合 \(X\) 的所有子集集合（幂集）的一个子集。

随机变量

设有概率空间 \((\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})\) ，随机变量 \(X(\omega)\) 为样本空间 \(\Omega\) 上的取值在 \(\mathbb{R}^d\) 上的 \(\mathcal{F}\) 可测函数，即 \(X(\omega): \Omega \rightarrow \mathbb{R}^d\)

还有什么¶

随机性的本质依然未解决
随机性与确定性界限
定义也是人为定义的，未必是严密的