1. 概率论基础

1.1. 概率空间与随机变量

1.1.1. 柯尔莫哥洛夫概率公理化体系

概率论公里化有三种学派：主观（任何命题都看作事件）、客观（频率的极限）、以测度论为基础（柯尔莫哥洛夫）

是什么

• 是一种概率论公里化方法，结合了集合论、测度论、实变函数论（与复变函数论关系？）；

• 是一个概率空间 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ 的可测描述；

• 测度为概率、可测函数为随机变量、全直线对应概率空间、点集对应事件集；

为什么

19世纪下半叶，概率论自身有了一定的发展，但诸如概率、收敛性、随机变量数学期望等没有严格定义。

• 为什么要有公里化方法：

• 为什么会想到用测度论：

怎么办

• 怎么结合集合论、测度论、实变函数论公里化概率论

• 怎么用这种公里化系统

1. 概率空间

概率空间可以用一个三元组表示为 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ ，即样本空间 $\Omega$ 上的事件 $\mathcal{F}$ 对应的概率测度 $\mathbb{P}$ ，其中：

• 事件域： 事件域 $\mathcal{F}$ 为样本空间 $\Omega$ 的子集生成的 $\sigma$ -代数，即满足：

  • 空集是任意集合的子集： $\emptyset \in \mathcal{F}$

  • 补运算封闭性： 若 $A \in \mathcal{F}$ ，则 $A^c \in \mathcal{F}$

  • 并集运算封闭性： 若 ${A_1, A_2, ..., A_n, ...} \subset \mathcal{F}$ ，则 ${\bigcup}_{n=1}^{\infty} \in \mathcal{F}$

• 概率测度： 概率测度 $\mathbb{P}$ 是定义在事件域 $\mathcal{F}$ 上，取值为 $[0, 1]$ 的函数

  • 非负性：$P(A) > 0$

  • 规范性：测度空间为1， $P(\Omega) = 1$

  • 可列（完全）可加性：相互独立事件联合概率为各自概率和，若 ${A_1, A_2, ..., A_n, ...} \subset \mathcal{F}$ 且两两互不相交（$A_m \bigcap A_n = \emptyset, m \neq n$）

提示

$\sigma$ -代数又称 $\sigma$ -域，是一个集合，是一个满足对交并补运算封闭的集合（数域是满足四则运算封闭的集合），集合 $X$ 上的 $\sigma$ -代数 是集合 $X$ 的所有子集集合（幂集）的一个子集。

2. 随机变量

设有概率空间 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ ，随机变量 $X(\omega)$ 为样本空间 $\Omega$ 上的取值在 $\mathbb{R}^d$ 上的 $\mathcal{F}$ 可测函数，即 $X(\omega): \Omega \rightarrow \mathbb{R}^d$

还有什么

• 随机性的本质依然未解决

• 随机性与确定性界限

• 定义也是人为定义的，未必是严密的

1.1.2. 傅立叶变换