2.1. 直线和圆¶
2.1.2. 直线与圆的交点¶
本小节利用直线和圆的一般式方程, 推导直线与圆之间的交点, 易知该交点满足如下方程组:
(2.3)¶\[\left\{\begin{array}{l}
Ax + By + C = 0 \\
(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2
\end{array}\right.
\]
当 \(B=0\) 时有, 若 \(r^2 < (\frac{C}{A}+x_0)^2\), 则无交点; 若 \(r^2 = (\frac{C}{A}+x_0)^2\) 则相切于点 \((-\frac{C}{A}, y_0)\); 若 \(r^2 > (\frac{C}{A}+x_0)^2\) 则相交于点 \((-\frac{C}{A}, y_0\pm \sqrt{r^2-\left(\frac{C}{A}+x_0\right)^2})\);
当 \(B≠0\) 时有交点 \(\left(\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}, y=\frac{-Ax-C}{B}\right)\), 其中, \(a=1+\frac{A^2}{B^2}\), \(B=\frac{2AC}{B^2}+\frac{2y_0A}{B}-2x_0\), \(c=x_0^2+(\frac{C}{B}+y_0)^2-r^2\).