2.2. 病态与良态

问题的病态与良态是根据 问题输出随问题输入扰动的变化程度 定义的, 这种扰动程度通过 条件数 来定义, 故先说明条件数的含义. 具有小条件数的问题是良态的, 相反, 具有大条件数的问题是病态的.

http://en.volupedia.org/wiki/Condition_number

2.2.1. 条件数

Definition 2.1 (条件数)

设有问题 \(f(x)\) , 解算法 \({\tilde f}(x)\) 和输入 \(x\) . 记输入的扰动(或误差)为 \(\delta x\) 解的扰动(或误差)为 \(\delta f\) , 则有绝对误差 \(||\delta f|| = ||f(x) - {\tilde f}(x)||\) 和相对误差 \(||\delta f|| / ||f(x)||\) .

绝对条件数 定义为

\[\lim_{\epsilon \to 0}\sup\limits_{||\delta x|| \le \epsilon} \frac{||\delta f(x)||}{||\delta x||} \]

相对条件数 定义为

\[\lim_{\epsilon \to 0}\sup\limits_{||\delta x|| \le \epsilon} \frac{||\delta f(x)||/||f(x)||}{||\delta x||/||x||} \]

2.2.2. 病态的

病态的 ( Ill-conditioned )

2.2.3. 良态的

良态的 ( Well-conditioned )