3.2.3. 傅立叶变换¶
简介¶
连续时间傅立叶变换及其逆变换¶
一维连续时间FT与IFT¶
一维连续时间信号 \(x(t)\) 的 傅立叶变换 可表示为
(3.14)¶\[X(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(t)e^{-j\omega t} {\rm d}t
\]
其中, \(\omega\) 为角频率, 单位为 \(\rm rad/s\), \(X(\omega)\) 为变换后的频域信号. 傅里叶变换为可逆变换, 即可以从频域信号 \(X(\omega)\) 变回时域信号 \(x(t)\), 逆傅立叶变换 可以表示为
(3.15)¶\[x(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}X(\omega)e^{+j\omega t} {\rm d}\omega
\]
对于周期为 \(T\) 的信号, 式 式.3.14 的积分区间可变为 \([-T/2, T/2]\).
二维连续时间FT与IFT¶
离散时间傅立叶变换及其逆变换¶
一维离散时间FT与IFT¶
一维离散时间信号 \(x[n], n=0,1,\cdots, N-1\) 傅立叶变换 可表示为
(3.16)¶\[X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]e^{-j \frac{2\pi k}{N} n}
\]
其中, \(\frac{2\pi k}{N}, k=0, 1, \cdots, K-1\) 为角频率, 单位为 \(\rm rad/s\), \(X[k]\) 为变换后的频域信号. 傅里叶变换为可逆变换, 即可以从频域信号 \(X[k]\) 变回时域信号 \(x[n]\), 逆傅立叶变换 可以表示为
(3.17)¶\[x[n] = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{K-1} X[k] e^{j \frac{2\pi k}{N} n}
\]
提示
\(K\) 为傅里叶变换点数, 控制了频率分辨率.
