2.3. 重构

2.3.1. 有限等距性

Candes等人于2005年提出 有限等距常数 (Restricted Isometry Constant, RIC) [12] , 文中给出的定义如下

Definition 2.14 (有限等距常数 (Restricted Isometry Constant))

设矩阵 \({\bm A}\) 由向量集合 \(\{{\bm a}_i \in {\mathbb R}^p, i\in {\mathbb I}\}\) 构成. 对于每个整数 \(1\leq s \leq |{\mathbb I}|\) , 定义 \({\bm A}\) 的 \(s\) 阶有限等距常数 \(\delta_s\) 为使得 \({\bm A}_{\mathbb T}\) 满足如下条件的最小正数

(2.9)\[(1-\delta_s)\|{\bm x}\| \leq \|{\bm A}_{\mathbb T}{\bm x}\| \leq (1+\delta_s)\|{\bm x}\| \\ \forall {\mathbb T}\subset {\mathbb I} \]

其中, \({\bm x} \in {\mathbb R}^n_k\) 为 \(k\) 稀疏信号. \(|{\mathbb I}|\) 为集合 \({\mathbb I}\) 的势 (Cardinality).

RIP 被广泛用于压缩感知 (Compressive Sensing, CS) 中 [7] . 在CS中, 感知矩阵 (\({\bm A} = {\bm \Phi}{\bm \Psi}\) ) 是否满足RIP条件直接决定了重构信号质量. 在CS中, 矩阵 \({\bm A}\) 的有限等距常数定义为

Definition 2.15 (有限等距常数 (Restricted Isometry Constant))

设 \({\bm A} = [{\bm a}_1, {\bm a}_2, \cdots, {\bm a}_n]\in {\mathbb R}^{m\times n}\) , \({\bm a}_i \in {\mathbb R}^m, i=1,2,\cdots, n\). 对于每个整数 \(s\in [1, n]\), 定义矩阵 \({\bm A}\) 的有限等距常数为满足下式的最小的数 \(\delta_s\)

(2.10)\[(1-\delta_s)\|{\bm x}\| \leq \|{\bm A}{\bm x}\| \leq (1+\delta_s)\|{\bm x}\| \]

其中, \({\bm x} \in {\mathbb R}^n_k\) 为 \(k\) 稀疏信号.

矩阵 \({\bm A}\) 具有有限等距特性 (Restricted Isometry Property, RIP) [6] 是指对于充分小的 \(\delta_s\) , 矩阵 \({\bm A}\) 满足 式.2.10. 式.2.10 表明, 矩阵 \({\bm A}\) 对信号 \(\bm x\) 投影前后的长度仅有微小的改变. 即RIP特性保证了来自矩阵 \(\bm A\) 的投影可以保持两个信号 \({\bm x}_1, {\bm x}_2\) 间的距离, 式.2.10 可以等价地表示为

(2.11)\[(1-\delta_s)\|{\bm x}_1-{\bm x}_2\| \leq \|{\bm A}({\bm x}_1-{\bm x}_2)\| \leq (1+\delta_s)\|{\bm x}_1-{\bm x}_2\|. \]

RIP 保证了稀疏信号 \(\bm x\) 可以被以高概率重构.