2.2. SAR系统组成

2.2.1. 硬件系统

2.2.2. 脉冲时序与采样

图 2.71图 2.69 所示, 设雷达于 tkt_k 时刻发射第 kk 个脉冲波束, 脉冲宽度为 TpT_p. 设经过 tneart_{near} 时间, 发射脉冲前边缘于 tAk=tk+tneart_{A_k}=t_k+t_{near} 时刻到达近地点 AA; 经过 tfart_{far} 时间, 发射脉冲前边缘于 tBk=tk+tfart_{B_k}=t_k+t_{far} 时刻到达远地点 BB, 前边缘到达远地点的脉冲又经过 tfar+Tpt_{far}+T_p 时间, 其后边缘到达雷达. 雷达接收机在稍早于 2tAk2t_{A_k} 的时刻 2tAkδAk2t_{A_k} - \delta_{A_k} 开始采样, 并于稍晚于 2tBk+Tp2t_{B_k}+T_p 的时刻 2tBk+Tp+δBk2t_{B_k} + T_p + \delta_{B_k} 结束采样, 则采样时间为 Tr=(2tBk+Tp+δBk)(2tAkδAk)T_{r} = (2t_{B_k} + T_p + \delta_{B_k}) - (2t_{A_k} - \delta_{A_k}). 其中, δAk>0,δBk>0\delta_{A_k} > 0, \delta_{B_k} > 0, (k=0,1,,Na)(k=0, 1, \cdots, N_a) 为很小的正数, 故采样时间

(2.26)Tr2tfar+Tp2tnear.T_{r} \approx 2t_{far} + T_p - 2t_{near}.
Time sequence of SAR transmitting and receiving pulse.

图 2.69 Time sequence of SAR transmitting and receiving pulse.

图 2.69 所示, 第 k+1k+1 个脉冲必须在第 kk 个脉冲到达雷达后才可以发射, 因而有

tk+1+2tnear>tk+2tfar+Tp,t_{k+1}+2 t_{n e a r}>t_{k}+2 t_{f a r}+T_{p},

从而有

(2.27)Tas=1Fas>2tfar2tnear+Tp=Tr,T_{a s}=\frac{1}{F_{a s}}>2 t_{f a r}-2 t_{n e a r}+T_{p}=T_{r},

其中, FasF_{as} 为方位向采样频率, TasT_{as} 为方位向采样周期, TrT_{r} 为距离向采样时间.

2.2.3. 几何建模

关键参数计算

卫星速度与波束掠过地面的速度

图 2.70 所示, 地球半径为 ReR_e, 卫星在距离地面高度为 HH 的高空以速度 VsV_s 围绕地球运动, 下视角为 θd\theta_d, 波束掠过地面的速度为 VgV_g. 由 图 2.70 中几何关系知 x+ABtanθd=Re+Hx + AB{\tan}\theta_d = R_e + H, 即

x+Re2x2 tanθd=Re+Hx + {\sqrt{R_e^2-x^2}\ {\tan}\theta_d} = R_e + H

化简后得

(2.28)(1+tan2θd)x22(Re+H)x+(Re+H)2Re2tan2θd=0(1+{\tan}^2\theta_d)x^2 - 2(R_e+H)x + (R_e+H)^2 - R_e^2{\tan}^2\theta_d = 0

式.2.28 的解为

(2.29)x=(Re+H)±tanθdRe2tan2θd2HReH21+tan2θd,x = \frac{(R_e+H) \pm {\tan \theta_d}\sqrt{R_e^2{\tan}^2\theta_d - 2HR_e-H^2}}{1+{\tan}^2\theta_d},

式.2.29 中, 当 0<θd<π/20 < \theta_d < \pi/2 时, 分子取加号; 当 π/2<θd<ππ/2 < \theta_d < \pi 时, 分子取减号.

Satellite velocity and beam skimming velocity

图 2.70 Satellite velocity and beam skimming velocity

距离向波束宽度计算

根据采样点数 NrN_r, 采样率 FrsF_{rs}, 平台高度 HH 以及下视角 θd\theta_d, 可以计算距离向波束宽度 (antenna elevation beamwidth) βe\beta_e. 如 图 2.71 所示, 由 图 2.71 中几何关系及 式.2.26

(2.30)TrTp=NrNpFrs2tfar2tnear=2PBc2PAc=2Hcsin(θdβe/2)2Hcsin(θd+βe/2)\begin{aligned} T_{r}-T_p &= \frac{N_{r} - N_p}{F_{rs}} \\ &\approx 2t_{far} - 2t_{near} \\ &=\frac{2PB}{c} - \frac{2PA}{c} \\ &= \frac{2H}{c\cdot{\rm sin}(\theta_d-\beta_e/2)} - \frac{2H}{c\cdot{\rm sin}(\theta_d+\beta_e/2)} \end{aligned}

其中, cc 为光速, NrN_r 为距离向采样点数, NpN_pTpT_p 时间内的距离向采样点数. 式.2.30 代入积化和差 sinαsinβ=12[cos(αβ)cos(α+β)]\sin \alpha \sin \beta=\frac{1}{2}[\cos (\alpha-\beta) - \cos (\alpha+\beta)] 与和差化积公式 sinαsinβ=2cosα+β2sinαβ2\sin \alpha-\sin \beta=2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}, 式.2.30 化简后得到

asin2βe2+4Hcosθdsinβe2+a2(cos2θd1)=0a\cdot{\sin}^2{\frac{\beta_e}{2}} + 4H{\cos}\theta_d {\sin}{\frac{\beta_e}{2}} + \frac{a}{2}({\cos}2\theta_d - 1) = 0

(sinβe2+2Hcosθda)2=asin2θd+4H2cos2θda\left({\sin}{\frac{\beta_e}{2}} + \frac{2H{\cos}\theta_d}{a}\right)^2 = a\cdot{\sin}^2{\theta_d} + \frac{4H^2{\cos}^2{\theta_d}}{a}

从而解得

sinβe2=2Hcosθda±sin2θd+4H2cos2θda2,{\sin}{\frac{\beta_e}{2}} = -\frac{2H{\cos}\theta_d}{a} ±\sqrt{{\sin}^2\theta_d + \frac{4H^2{\cos}^2\theta_d}{a^2}},

其中, a=c(NrNp)Frsa = \frac{c(N_{r}-N_p)}{F_{rs}}, cc 为光速. 由于 sinβe2[1,1]{\sin}\frac{\beta_e}{2}\in[-1, 1], 可以排除一个解.

Beam width and footprint in range direction

图 2.71 Beam width and footprint geometry in range direction