3.2. 常用自步函数

文献 [2] 中总结了一些常见的自步函数, 设有 \(N\) 个样本, 样本容易度向量记为 \({\bm v}∈[0, 1]^N\), 自步函数记为 \(f({\bm v}; \lambda)\), 其中, \(λ = \frac{1}{k}\), 最优解记为 \({\bm v}^* = [v_1^*, v_2^*, \cdots, v_N^*]\).

3.2.1. 二值加权

二值加权自步函数的表达式为

(3.36)\[f(\bm{v}, k) = = -λ\|{\bm v}\|_1 = -λ\sum_{n=1}^N v_n \]

其最优解为

(3.37)\[v_{n}^* = \left\{\begin{array}{ll}{1,} & {l_{n}<\lambda} \\ {0,} & {l_{n}>=\lambda}\end{array}\right. \]

3.2.2. 线性加权

线性加权自步函数的表达式为

(3.38)\[f(\bm{v}, \lambda)=\lambda\left(\frac{1}{2}\|\bm{v}\|_{2}^{2}-\sum_{n=1}^{N} v_{n}\right) \]

其最优解为

(3.39)\[v_{n}^* = {\rm max}\{1-l_n/\lambda, 0\} \]

3.2.3. 对数加权

对数加权自步函数的表达式为

(3.40)\[f(\bm{v}, \lambda) = \sum_{n=1}^{N}\left(\zeta v_{n}-\frac{\zeta^{v_{n}}}{{\rm log} \zeta}\right) \]

其中, \(\zeta=1-\lambda, 0<\lambda<1\)

其最优解为

(3.41)\[v_{n}^{*}=\left\{\begin{array}{ll}{0,} & {l_{n}>=\lambda} \\ {\log \left(l_{n}+\zeta\right) / \log \xi,} & {l_{n}<\lambda}\end{array}\right. \]

3.2.4. 混合加权

混合加权自步函数的表达式为

(3.42)\[f\left(\bm{v}, λ \right)=-\zeta \sum_{n=1}^{N} \log \left(v_{n}+\zeta / λ \right) \]

其中, \(ζ= \frac{1}{k^{\prime} - k} = \frac{\lambda^{\prime}\lambda}{\lambda-\lambda^{\prime}}\), \(k^{\prime}>k>0\), \(0<\lambda^{\prime}<\lambda\)

其最优解为

(3.43)\[v_{n}^{*}=\left\{\begin{array}{ll}{1,} & {l_{n} \leq \lambda^{\prime}} \\ {0,} & {l_{n} \geq \lambda} \\ {\zeta / l_{n}-\zeta / \lambda,} & {\text { otherwise }}\end{array}\right. \]