4.1. 简介

4.1.1. 什么是信号稀疏分解

与频谱估计类似, 信号分解 (Signal Decomposition) 目的在于将信号分解成原子 (atom) 或基 (basis) 的组合(线性或非线性), 信号稀疏分解 (Signal Sparse Decomposition) 目的在于将信号分解成少量原子 (atom) 基 (basis) 的组合(线性或非线性)

假设有过完备字典 \({\bm A} = [{\bm a}_1, {\bm a}_2, \cdots, {\bm a}_n]\in {\mathbb R}^{m\times n}\), 其中每一列称为一个原子, 信号稀疏分解是指将信号 \({\bm y}\) 分解为过完备字典 \({\bm A}\) 中的尽可能少( \({\bm x}\) 稀疏)的原子的线性组合

(4.1)\[{\bm y} = {\bm A}{\bm x} = {x}_1 {\bm a}_1 + {x}_2 {\bm a}_2 + \cdots {x}_n {\bm a}_n, \]

其中, \({\bm x}\) 仅有少量元素非零(稀疏), 称为稀疏分解系数. 对于稀疏信号恢复问题, \({\bm x}\) 被当作稀疏信号, \({\bm y}\) 被当作观测信号, 字典相当于观测矩阵. 若考虑噪声成份, 则有

\[{\bm y} = {\bm A}{\bm x} + {\bm n}, \]

其中, \({\bm n} \in {\mathbb R}^{m\times 1}\) 为噪声向量.

提示

对于字典 \({\bm D}\in {\mathbb C}^{m\times n}\), 完备字典是指字典 \({\bm D}\) 中的所有原子恰好能够张成 \(m\) 维空间, 当 \(n >> m\) 且 \({\bm D}\) 中的原子可以张成 \(m\) 维空间时, 称 \({\bm D}\) 是过完备的.

上述分解中的过完备字典也可以是完备字典, 比如DCT逆变换对应的矩阵, 那么稀疏系数 \(\bm x\) 对应信号 \(\bm y\) 的频率成分.

4.1.2. 常见稀疏分解算法

匹配追踪, 正交匹配追踪